Question

如图，已知A是半径为1的⊙O上一点，以A为圆心，AO为半径画弧交⊙O于点B、C；以C为圆心，CO为半径画弧交⊙O于点D、A，则图中阴影面积为

 

．

Answer 1

分析：连OA，OB，OC，OD，BA，AC，CD，则OA=OB=OC=OD=AB=AC=CD=1，得到△OBA，△OAC，△OCD都是等边三角形，于是∠BOC=180°，得到BD为⊙O的直径，因此S_阴影部分=S_半圆BD-S_弓形OB-S_弓形OD=S_半圆BD-2（S_扇形ABO-S_△ABO），然后根据圆、扇形和三角形的面积公式进行计算即可．

解答：解：连OA，OB，OC，OD，BA，AC，CD，如图，
根据题意得，OA=OB=OC=OD=AB=AC=CD=1，
∴△OBA，△OAC，△OCD都是等边三角形，
∴∠BOA=∠AOC=∠DOC=60°，
∴∠BOC=180°，
∴BD为⊙O的直径，
∴S_阴影部分=S_半圆BD-S_弓形OB-S_弓形OD=S_半圆BD-2（S_扇形ABO-S_△ABO）=

1

2

π×1²-2×

60π×12

360

+2×

3

4

×1²=

π

6

+

3

2

．
故答案为

π

6

+

3

2

．

点评：本题考查了扇形的面积公式：S=

nπR2

360

（其中n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半径），或S=

1

2

lR，l为扇形的弧长，R为半径．同时考查了等边三角形的性质与面积公式．