已知:如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,CD⊥AD,AD2+CD2=2AB2.
(1)求证:AB=BC;
(2)当BE⊥AD于E时,试证明:BE=AE+CD.
(1)连接AC,先根据勾股定理可得,,再结合,可得,从而证得结果;
(2)过C作CF⊥BE于F,即可证得四边形CDEF是矩形,则可得CD=EF,根据同角的余角相等可得∠BAE=∠CB,即可证得△BAE≌△CBF,则可得AE=BF,从而得到结果.
【解析】
试题分析:(1)连接AC
∵∠ABC=90°
∴AB2+BC2=AC2
∵CD⊥AD
∴AD2+CD2=AC2
∵AD2+CD2=2AB2
∴AB2+BC2=2AB2
∴AB=BC;
(2)过C作CF⊥BE于F
∵BE⊥AD
∴四边形CDEF是矩形.
∴CD=EF
∵∠ABE+∠BAE=90°,∠ABE+∠CBF=90°
∴∠BAE=∠CB
∴△BAE≌△CBF.
∴AE=BF
∴BE=BF+EF=AE+CD.
考点:勾股定理,矩形的判定,同角的余角相等,全等三角形的判定和性质
点评:本题知识点较多,综合性强,读懂题意及图形,正确作出辅助线是解题的关键.
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