Question

已知半径为r的⊙O₁与半径为R的⊙O₂外离，直线DE经过O₁切⊙O₂于点E并交⊙O₁于点A和点D，直线CF经过O₂切⊙O₁于点F并交⊙O₂于点B和点C，连接AB、CD，
（1）[以下ⅰ、ⅱ两小题任选一题]
（ⅰ）求四边形ABCD的面积
（ⅱ）求证：A、B、E、F四点在同一个圆上
（2）求证：AB∥DC．

Answer 1

证明：（1）连接O₁F，O₂E，AF，BE，
∵DE，CF为切线，
∴∠O₁F0₂=∠O₂EO₁=90°，∴O₁、F、O₂、E四点共圆，
∴∠AO₁F=∠EO₂B，
又∵O₁A=O₁F，O₂E=O₂B，
∴根据三角形外角定理，得∠EAF=∠EBF，
所以A、E、B、F四点共圆；


（2）∵A、E、B、F四点共圆，
∴根据同弧所对的圆周角相等，连接EF，则∠ABF=∠AEF，
同（2）法可证F、C、E、D四点共圆，则∠DEF=∠DCF，
而∠AEF和∠DEF为同一角，则∠ABF=∠DCF，
所以AB∥CD．
设DC与O₁，O₂的另一交点分别为M、N，连接AM、BN，连接O₁O₂
∵AB∥CD

（ⅰ）设DC与O₁，O₂的另一交点分别为M、N，连接AM、BN，连接O₁O₂
∵AB∥CD
∴四边形ABCD是梯形
又O₁、O₂是圆心，AD、BC是直径
∴O₁O₂梯形ABCD的中位线，AM⊥BC，BN⊥BC
∴O₁F=r，AD=2r；O₂E=R，BC=2R
∴O₁O₂=（AB+CD），O₁O₂∥BC
∴∠O₁O₂F=∠C
∵CF、DE分别是⊙O₁、⊙O₂的切线
∴O₁F⊥O₂F，O₂E⊥O₁E
∴Rt△BCN∽Rt△O₁O₂F
∴O₁O₂：BC=O₁F：BN
∴O₁O₂•BN=BC•O₁F=2Rr
∵AB∥BC，BN⊥BC
∴BN是梯形ABCD的高
∴S_梯形=（AB+CD）•AM=O₁O₂×BN=2Rr
分析：（1）连接O₁F，O₂E，AF，BE，根据切线的性质得∠O₁F0₂=O₂EO₁=90°，可证O₁、F、O₂、E四点共圆，得出∠AO₁F=∠EO₂B，再利用等腰三角形的性质，外角的性质证明∠EAF=∠EBF，判断A、E、B、F四点共圆；
（2）由（1）的结论可证∠ABF=∠AEF，同理可证F、C、E、D四点共圆，得到∠DEF=∠DCF，从而有∠ABF=∠DCF，证明结论．
点评：本题考查了四点共圆的判定与性质，切线的性质．关键是根据切线的性质，逐步判断四点共圆，利用四点共圆的性质证明结论．