Question

【题目】如图，已知Rt△ABC中，CAB=60°，点O为斜边AB上一点，且OA=2，以OA为半径的⊙O与BC相切于D，与AC交于点E，连接AD．

（1）求线段CD的长；

（2）求⊙O与Rt△ABC重叠部分的面积．（结果保留准确值）

Answer 1

【答案】（1）CD=；（2）．

【解析】

（1）连接OD，由切线的性质和直角三角形的性质得出OB＝2OD＝4，BD＝OD＝2，得出AB＝OA+OB＝6，AC＝AB＝3，BC＝AC＝3，即可得出结果；

（2）连接OE，证出△OAE是等边三角形，得出∠AOE＝60°，∠EOG＝120°，作EF⊥OA于F，则OF＝1，EF＝OF＝，⊙O与Rt△ABC重叠部分的面积＝△AOE的面积+扇形OEDG的面积，即可得出结果，

（1）连接OD，如图1所示：

∵以OA为半径的⊙O与BC相切于D，

∴∠ODB=90°．

∵OD=OA=2，∠C=90°，∠CAB=60°，

∴∠B=30°，

∴OB=2OD=4，BD=OD=2，

∴AB=OA+OB=6，

∴AC=AB=3，

∴BC=AC=3，

∴CD=BC﹣BD=；

（2）连接OE，如图2所示：

则OA=OE．

∵∠CAB=60°，

∴△OAE是等边三角形，

∴∠AOE=60°，

∴∠EOG=120°，

作EF⊥OA于F，

则OF=1，EF=OF=，

∴⊙O与Rt△ABC重叠部分的面积=△AOE的面积+扇形OEDG的面积=×2×+=+．