Question

4．已知函数C₁：y=kx²+（$\frac{4}{3}$-3k）x-4．
（1）求证：无论k为何值，函数图象与x轴总有交点？
（2）当k≠0时，（n-3，n-7）、（-n+1，n-7）是抛物线上的两个不同点，
①求抛物线的表达式；
②求n；
（3）当k≠0时，二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，是否存在实数k，使△ABC为等腰三角形？若存在，请求出实数k；若不存在，请说明理由？

Answer 1

分析 （1）分类讨论：①当k=0时，函数为一次函数，与x轴必有一个交点；②当k≠0时，计算判别式得到△=（3k+$\frac{4}{3}$）²≥0，由此得出无论k为何值，函数图象与x轴总有交点；
（2）①由（n-3，n-7）、（-n+1，n-7）是抛物线上的两个不同点，根据二次函数的对称性得出对称轴为直线x=$\frac{n-3-n+1}{2}$=-1，再根据对称轴公式得出-$\frac{\frac{4}{3}-3k}{2k}$=-1，解方程求出k的值，从而得出抛物线的表达式；
②将（n-3，n-7）代入y=$\frac{4}{15}$x²+$\frac{8}{15}$x-4，即可求出n的值；
（3）由二次函数的解析式求出A，B，C三点的坐标，得出三点中有两个定点（3，0），（0，-4），另一动点坐标为（-$\frac{4}{3k}$，0）．当△ABC为等腰三角形时，分AB为底边、BC为底边、AC为底边三种情况求出另一动点坐标，进而求出k的值．

解答 （1）证明：①当k=0时，函数为一次函数，即y=$\frac{4}{3}$x-4，与x轴交于点（3，0）；
②当k≠0时，函数为二次函数，
∵△=（$\frac{4}{3}$-3k）²-4k×（-4）=（3k+$\frac{4}{3}$）²≥0，即△≥0，
∴与x轴有一个或两个交点；
综上可知，无论k为何值，函数图象与x轴总有交点；

（2）①当k≠0时，函数C₁：y=kx²+（$\frac{4}{3}$-3k）x-4为二次函数，
∵（n-3，n-7）、（-n+1，n-7）是抛物线上的两个不同点，
∴抛物线的对称轴为直线x=$\frac{n-3-n+1}{2}$=-1，
∴-$\frac{\frac{4}{3}-3k}{2k}$=-1，解得k=$\frac{4}{15}$，
∴抛物线的表达式为y=$\frac{4}{15}$x²+$\frac{8}{15}$x-4；

②∵（n-3，n-7）是抛物线y=$\frac{4}{15}$x²+$\frac{8}{15}$x-4上的点，
∴n-7=$\frac{4}{15}$（n-3）²+$\frac{8}{15}$（n-3）-4，
解得n₁=$\frac{19}{4}$，n₂=3；

（3）∵y=kx²+（$\frac{4}{3}$-3k）x-4，
∴当y=0时，kx²+（$\frac{4}{3}$-3k）x-4=0，
解得x₁=3，x₂=-$\frac{4}{3k}$，
∴如果设A点坐标为（3，0），那么B点坐标为（-$\frac{4}{3k}$，0）．
∵x=0时，y=-4，
∴C点坐标为（0，-4）．
当△ABC为等腰三角形时，B点坐标为（-3，0），（-2，0），（-$\frac{7}{6}$，0），（8，0），
当-$\frac{4}{3k}$=-3时，k=$\frac{4}{9}$；
当-$\frac{4}{3k}$=-2时，k=$\frac{2}{3}$；
当-$\frac{4}{3k}$=-$\frac{7}{6}$时，k=$\frac{8}{7}$；
当-$\frac{4}{3k}$=8时，k=-$\frac{1}{6}$．
综上所述，满足条件的实数k的值为$\frac{4}{9}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{8}{7}$，-$\frac{1}{6}$．

点评 本题是二次函数综合题，考查了函数图象与方程的关系，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质等知识，综合性较强，难度适中．利用分类讨论以及方程思想是解题的关键．