Question

如图，△ABC和△ACD是两个边长为2的等边三角形，另一个足够大的等边△AEF绕点A旋转，AE与BC相交于点M，AF与CD相交于点N．
（1）证明：∠DAN=∠CAM； 
（2）求四边形AMCN的面积；
（3）在△AEF转动中，∠BAM=

30°

时，MN的值最小？（直接填写结果，不要求写推理过程）

Answer 1

分析：（1）由△ACD和△AEF都是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠DAC=∠FAE=60°，同时减去∠CAN即可得结论；
（2）由（1）和等边三角形的性质得到∠DAN=∠CAM，AD=AC，∠D=∠ACB=60°，易证得△ADN≌△ACM，于是有S_{四边形AMCN的面积}=S_△ABC=

3

4

a²，然后把a=2代入计算即可；
（3）由（2）得AN=AM，则△AMN为等边三角形，MN=AM，当AM⊥BC时，AM最小，即MN最小，此时AM平分∠BCA，于是得到∠BAM=30°．

解答：（1）证明：∵△ACD，△AEF都是等边三角形，
∴∠CDA=∠EAF=60°，
∴∠CAN+∠DAN=∠CAN+∠CAM，
∴∠DAN=∠CAM；
（2）解：∵△ABC和△ACD是两个边长为2的等边三角形，
∴AD=AC，∠D=∠ACB=60°，
而∠DAN=∠CAM，
∴△ADN≌△ACM，
∴S_{四边形AMCN的面积}=S_△ABC，
而S_△ABC=

3

4

×2²=

3

，
∴四边形AMCN的面积为

3

；
（3）解：30°．

点评：本题考查了等边三角形的性质：等边三角形三边相等；三个角都等于60°；等边三角形的三线合一；边长为a的等边三角形的面积为

3

4

a²．也考查了全等三角形的判定与性质．