Question

16．如图，在菱形ABCD中，E为BC上一点，AE交BD于F，AB=AE，BE=AF．
（1）求证：△ADF≌△EAB；
（2）求∠DAB，∠ABC，∠C，及∠ADC的度数各是多少．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性质可得AD=AB，AD∥BC，再结合已知条件可得AD=AE，∠DAF=∠AEB，进而由全等三角形的判定方法（SAS）即可证明△ADF≌△EAB；
（2）由（1）可知∠ADF=∠BAE，由菱形的性质可得∠ABF=∠ADB=∠DBC，设∠BAE=x，在△ABE中由三角形内角和定理可得关于x的方程，解方程可求出∠BAE的度数，进而∠DAB，∠ABC，∠C，及∠ADC的度数都可求出．

解答 （1）证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，AD∥BC，
∴∠DAF=∠AEB，
∵AB=AE，
∴AE=AD，
在△ADF和△EAB中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=EA}\\{∠DAF=∠BEA}\\{AF=BE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△EAB；
（2）
∵△ADF≌△EAB，
∴∠ADF=∠BAE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABF=∠ADB=∠DBC，
设∠BAE=x，
∴∠ABE=∠AEB=2x，
△ABE中由三角形内角和定理可得：x+2x+2x=180°，
解得：x=36°，
∴∠ABC=∠ADC=72°，
∴∠DAB=∠C=108°．

点评 本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质并列出关于∠BAE的方程是解题的关键．