Question

【题目】如图，点为平面直角坐标系的原点，在矩形中，两边、分别在轴和轴上，且点满足：．

（1）求点的坐标（___，_____）；

（2）若过点的直线与矩形的边交于点，且将矩形的面积分为两部分，

①求直线的解析式；

②在直线确定一点，使得的面积等于矩形的面积，求点的坐标；

（3）在线段上，，在坐标轴上，为（2）中直线上一动点，若四点、、、构成平行四边形，直接写出的坐标．

Answer 1

【答案】（1）（，-4）；（2）①y=，②（,）或（0，4）；（3）（3，0）或（，0）或（0，6）或（0，2）

【解析】

（1）根据非负数性质可求出a,b;

（2）①结合图，根据三角形面积关系求出P的坐标，用待定系数法求解；

②根据题意作图，可得Q的位置有两种情况：根据轴对称性质可得一种在y轴上；根据S△ACQ1=S梯形AOEQ1-S△AOC-S△CEQ1=S矩形ABCO可求出第二种情况；

（3）根据平行四边形判定，过D作y轴的平行线与PB相交于N2，将OD沿AB平移至M1N1或沿y轴平移至M3N3或至M2N2可得到以OD为边的平行四边形；当N4E∥AD,且N4E=AD时，OD∥N4M4 ,ODN4=M4,也可得到以OD为边的平行四边形；分别可求出M的坐标．

解：（1）因为

所以=0，

所以，b=-4

所以B（，-4）

（2）①如图，由已知可得△PBC的面积是：=

所以PC=

所以OP=OC-PC=

所以P（，0）

设直线BP的解析式是y=kx+b

则

解得

所以BP的解析式是y=

②如图，Q的位置有两种情况：

第一种：Q2位置

直线y=与y轴的交点是Q2（0，4）,

因为A（0，-4）

所以Q2，A关于x轴对称

所以三角形ACQ2的面积=2S△AOC=矩形ABCO的面积．

第二种：Q1位置

设Q1（）

由S△ACQ1=S梯形AOEQ1-S△AOC-S△CEQ1=S矩形ABCO得

解得

所以

所以Q1（,）

所以Q的坐标是（,）或（0，4）

（3）如图，过D作y轴的平行线与PB相交于N2，将OD沿AB平移至M1N1或沿y轴平移至M3N3或至M2N2可得到以OD为边的平行四边形；当N4E∥AD,且N4E=AD时，OD∥N4M4 ,ODN4=M4,也可得到以OD为边的平行四边形；

因为AD=

所以 AD=

所以BD=3

所以M1（3，0），M3（，0）

N2（，2）

所以DN2=2+4=6

所以OM2=6

所以M2（0，6）

当N4E∥AD且N4E=AD=时，可得E（0，6），

当EM4=OA=4,即M4（0，2）时，可得△N4EM4≌△DAO（SAS）

此时，∠N4M4E=∠AOD

所以∠N4M4O=∠DOE

所以N4M4∥OD

此时可得到OD为边的平行四边形；

综合上述，M的坐标是：（3，0）或（，0）或（0，6）或（0，2）