Question

如图，正比例函数y=

1

2

x的图象与反比例函数y=

k

x

（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△AOM的面积为1，点B（-1，t）为反比例函数在第三象限图象上的点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）试求出点A、点B的坐标；
（3）在y轴上求一点P，使|PA-PB|的值最大．

Answer 1

分析：（1）设A（m，n），A在正比例函数y=

1

2

x的图象上，可得到n=

1

2

m，进而得到A（m，

1

2

m），再根据△AOM的面积为1，可以求出m的值，进而得到A点坐标，再利用待定系数法算出反比例函数解析式；
（2）根据反比例函数解析式，把B点坐标代入即可算出t的值，进而得到B点坐标；
（3）作点A关于直线y的对称点A′，作直线A′B交y于P点，则点P为所求点，求出P点坐标即可．

解答：解：（1）设A（m，n），
∵A在正比例函数y=

1

2

x的图象上，
∴n=

1

2

m，
∴A（m，

1

2

m），
∴AM=

1

2

m，OM=m，
∵△AOM的面积为1，
∴

1

2

×

1

2

m×m=1，
解得：m=±2，
∵A在第一象限，
∴m=2，
∴A（2，1），
∵A点在反比例函数y=

k

x

（k≠0）的图象上，
∴k=2×1=2，
∴反比例函数关系式为：y=

2

x

；

（2）∵点B（-1，t）为反比例函数y=

2

x

在第三象限图象上的点，
∴t=

2

-1

=-2，
∴B（-1，-2）；

（3）作点A关于直线y的对称点A′，作直线A′B交y于P点，则点P为所求点，
∵A（2，1），
∴A′（-2，1），
设A′B的函数解析式为y=kx+b，
∵图象过A′（-2，1），B（-1，-2），
∴

-2k+b=1 -k+b=-2

，
解得：

k=-3 b=-5

，
∴A′B的函数解析式为y=-3x-5，
∴P（0，-5 ）．

点评：此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，待定系数法求函数解析式，最短线路问题，解答此题的难点是根据轴对称的性质画出图形，再由两点之间线段最短的知识求解．