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3、如图所示.直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,∠ADC=135°,CD的垂直平分线交BC于N,交AB延长线于F,垂足为M.求证:AD=BF.
分析:由MF是DC的垂直平分线,所以ND=NC.由AD∥BC及∠ADC=135°知,∠C=45°,从而∠NDC=45°,∠DNC=90°,所以ABND是矩形,进而推知△BFN是等腰直角三角形,从而AD=BN=BF.
解答:解:证明:连接DN,
∵N是线段DC的垂直平分线MF上的一点,
∴ND=NC.
已知AD∥BC及∠ADC=135°,
∴∠C=45°,
∴∠NDC=45°(等腰三角形性质).
在△NDC中,∠DNC=90°(三角形内角和定理),
∴ABND是矩形,
∴AF∥ND,∠F=∠DNM=45°.
∴△BNF是一个含有锐角45°的直角三角形,
∴BN=BF,已证得AD=BN,
∴AD=BF.
点评:本题考查了直角梯形、矩形、直角三角形等相关知识点,解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线,把梯形分割为矩形和直角三角形,从而由矩形和直角三角形的性质来求解.
练习册系列答案
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如图所示,直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上.精英家教网过点B、C作直线l.将直线l平移,平移后的直线l与x轴交于点D,与y轴交于点E.且AB=2,BC=2
5
,OA=4
(1)求直角梯形OABC的面积及直线BC的解析式;
(2)当直线l向左或向右平移时(包括l与直线BC重合),在直线AB上是否存在点P,使△PDE为等腰直角三角形?若存在,请直接写出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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