Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）的对称轴为x=-1，交x轴的一个交点为（x₁，0），且0＜x₁＜1，则下列结论：
①b＞0，c＜0；②a-b+c＞0；③b＜a；④3a+c＞0；⑤9a-3b+c＞0
其中正确的命题有

 

．（请填入正确的序号）

Answer 1

分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答：解：根据题意，得到该抛物线的图象（如图所示）
①∵二次函数y=ax²+bx+c的对称轴x=-

b

2a

=-1＜0，a＞0
∴b＞0；
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0；
故本选项正确；

②根据图示，知
当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0；故本选项错误；

③∵二次函数y=ax²+bx+c的对称轴x=-

b

2a

=-1，
∴b=2a；
又∵a＞0，
∴b-a=a＞0，
∴b＞a；故本选项错误；

④由图象知，当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0；
又∵b=2a，
∴3a+c＞0；故本选项正确；

⑤根据图象知，当x=-3时，y＞0，即9a-3b+c＞0；故本选项正确；
综上所述，其中正确的命题有①④⑤；
故答案是：①④⑤．

点评：本题考查了二次函数y=ax²+bx+c图象与系数的关系．系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与坐标轴的交点确定．