Question

如图，AC是⊙O的直径，BF是⊙O的弦，BF⊥AC于点H，在BF上截取KB＝AB，AK的延长线交⊙O于点E，过点E作PD∥AB，PD与AC、BF的延长线分别交于点D、P.

（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证；EK²＝FK·PK；
（3）若AK＝，tan∠D＝，求DE的长．

Answer 1

（1）连接OE，根据圆的基本性质可得∠OEA=∠OAE，根据平行线的性质可得∠PEA=∠BAE，由KB＝AB可得∠AKB＝∠BAE，即得∠PEA＝∠AKB，再结合BF⊥AC即可证得结论；（2）连接EF，则∠EFB=∠BAE，又∠PEA＝∠BAE，即得∠EFK=∠PEK，证得△EFK∽△PEK，根据相似三角形的性质即可证得结论；（3）

试题分析：（1）连接OE，根据圆的基本性质可得∠OEA=∠OAE，根据平行线的性质可得∠PEA=∠BAE，由KB＝AB可得∠AKB＝∠BAE，即得∠PEA＝∠AKB，再结合BF⊥AC即可证得结论；
（2）连接EF，则∠EFB=∠BAE，又∠PEA＝∠BAE，即得∠EFK=∠PEK，证得△EFK∽△PEK，根据相似三角形的性质即可证得结论；
（3）根据平行线的性质可得∠BAH＝∠D，即得tan∠BAH＝tan∠D＝，由BF⊥AC，H为垂足，且KB＝AB， 则在Rt△ABH和Rt△AKH中，设AH＝3n，则BH＝4n，AB＝5n，KH=n，再根据勾股定理即可列方程求得n，连接OB，并设⊙O半径为R，则在Rt△OBH中根据勾股定理即可列方程求得结果.
（1）连接OE，
∵OE＝OA，
∴∠OEA=∠OAE
∵PD∥AB，
∴∠PEA=∠BAE，
∵KB＝AB，
∴∠AKB＝∠BAE，
∴∠PEA＝∠AKB，
∵BF⊥AC，H为垂足，
∴∠OAE＋∠AKB＝90°
∴∠OEA+∠PEA＝90°，即OE⊥PD，
∵OE是⊙O半径，
∴PD是⊙O的切线；
（2）连接EF，则∠EFB=∠BAE，

又∠PEA＝∠BAE，
∴∠EFK=∠PEK，
又∠EKF=∠PKE，
∴△EFK∽△PEK，
∴
（3）∵AB∥PD，
∴∠BAH＝∠D，
∴tan∠BAH＝tan∠D＝，
∵BF⊥AC，H为垂足，且KB＝AB，
∴在Rt△ABH和Rt△AKH中，设AH＝3n，
则BH＝4n，AB＝5n，KH=n，
∴由AH²+KH²＝AK²，即，解得
∴AH＝，BH＝
连接OB，并设⊙O半径为R，则在Rt△OBH中，，
由，解得：
在Rt△ODH中，，     
∴.
点评：此类问题难度较大，在中考中比较常见，一般在压轴题中出现，需特别注意.