Question

18．如图，矩形ABCD在第一象限，四边分别平行于x轴和y轴，且顶点A、C在反比例函数图象上，BA延长线交y轴于点E，BC延长线交x轴于点F，S_△AOE=$\frac{1}{2}$．
（1）求反比例函数解析式；
（2）请说明点B在射线OD上；
（3）若AC=2AO，请探索∠AOF与∠DOF的大小关系，并说理由．

Answer 1

分析 （1）设反比例函数解析式为y=$\frac{k}{x}$，设A点坐标为（x，y），则OE=y，AE=x，利用S_△AOE=$\frac{1}{2}$可求得xy=1，可求得k，求得函数解析式；
（2）分别延长AD、CD，分别交x轴、y轴于点N、M，则可得S_矩形ANOE=S_矩形OFCM，从而可得到$\frac{DN}{BF}$=$\frac{ON}{OF}$，可知O、D、B三点在一条直线上，可证得结论；
（3）设BD交AC于点H，则AH=OA，可得到∠AOH=∠AHO=2∠HDC=2∠DOF，从而可得到∠AOF和∠DOF的关系．

解答 解：
（1）设反比例函数解析式为y=$\frac{k}{x}$，A点坐标为（x，y），则OE=y，AE=x，
∵A点在反比例函数图象上，
∴xy=k，
∵S_△AOE=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$OE•AE=$\frac{1}{2}$xy=$\frac{1}{2}$，
∴k=xy=1，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{1}{x}$；
（2）如图1，分别延长AD、CD，分别交x轴、y轴于点N、M，

∵四边形ABCD为矩形，
∴四边形ONAE和四边形OMCF为矩形，
∴OM=ND，BF=OE，
∵A、C两点都在反比例函数图象上，
∴ON•OE=1，OF•OM=1，即ON•OE=OF•OM，
∴$\frac{ON}{OF}$=$\frac{OM}{OE}$=$\frac{DN}{BF}$，
∴O、D、B三点在一条直线上，
∴B点在射线OD上；
（3）如图2，连接BD交AC于点H，

∵四边形ABCD为矩形，
∴AH=HC，
∵AC=2OA，
∴AH=OA，
∴∠AHO=∠AOH，
∵CD∥OF，
∴∠DOF=∠HDC=∠HCD，
∵∠AHD=∠HDC+∠HCD=2∠HDC，
∴∠AHD=2∠DOF，
∴∠AOD=2∠DOF，
∴∠AOF=∠AOD+∠DOF=3∠DOF，即∠AOF是∠DOF的三倍．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、反比例函数k的几何意义、矩形的性质、平行线分线段成比例及等腰三角形的性质等．在（2）中利用反比例函数k的几何意义求得线段成比例是解题的关键，注意平行线分线段成比例定理的应用，在（3）中由线段的关系得到角的关系是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性很强，特别是第（2）问难度很大．