分析 根据正方形的性质可得AB=AD=CD,∠BAD=∠CDA,∠ADG=∠CDG,然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等,根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2,利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等,根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3,从而得到∠1=∠3,然后求出∠AHB=90°,取AB的中点O,连接OH、OD,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=$\frac{1}{2}$AB=1,利用勾股定理列式求出OD,然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时,DH的长度最小.
解答 解:在正方形ABCD中,AB=AD=CD,∠BAD=∠CDA,∠ADG=∠CDG,
在△ABE和△DCF中,
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠BAD=∠CDA}\\{AE=DF}\end{array}\right.$,
∴△ABE≌△DCF(SAS),
∴∠1=∠2,
在△ADG和△CDG中,
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADG=∠CDG}\\{DG=DG}\end{array}\right.$,
∴△ADG≌△CDG(SAS),
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠3,
∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°,
∴∠1+∠BAH=90°,
∴∠AHB=180°-90°=90°,
取AB的中点O,连接OH、OD,
则OH=AO=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$,
在Rt△AOD中,OD=$\sqrt{A{O}^{2}+A{D}^{2}}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$,
根据三角形的三边关系,OH+DH>OD,
∴当O、D、H三点共线时,DH的长度最小,
最小值=OD-OH=$\frac{3}{2}$($\sqrt{5}$-1).
故答案为:$\frac{3}{2}$($\sqrt{5}$-1).
点评 本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,三角形的三边关系,确定出DH最小时点H的位置是解题关键,也是本题的难点.
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A. | $\sqrt{2}$ | B. | -$\sqrt{2}$ | C. | -1+$\sqrt{2}$ | D. | 1-$\sqrt{2}$ |
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