Question

如图，在平行四边形ABCD中，P是CD边上的一点，AP与BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=50mm，AP=80mm．
（1）判断△APB是什么三角形，证明你的结论；
（2）比较DP与PC的大小；
（3）画出以AB为直径的⊙O，交AD于点E，连接BE与AP交于点F，求tan∠AFE的值；
（4）点O′在线段AB上移动，以O’为圆心作⊙O′，使⊙O′与边AP相切，切点为M，设⊙O′的半径为m，当m为何值时，⊙O′与AP、BF都相切？

Answer 1

解：（1）直角三角形，
证明：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵AP与BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB=∠DAB，∠PBA=∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA=90°，
∴∠APB=180°-90°=90°，
∴△APB是直角三角形．

（2）相等，
理由是：∵平行四边形ABCD，
∴DC∥AB，AD=BC，
∴∠DPA=∠PAB，∠CPB=∠PBA，
∵AP与BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB=∠DAP，∠PBC=∠PBA，
∴∠DPA=∠DAP，∠CPB=∠CBP，
∴DP=AD，CP=BC，
∴DP=CP．


（3）∵AB是圆Q的直径，
∴∠AEB=∠APB=90°，
∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP=∠BAP，
∴△AEF∽△APB，
∴∠AFE=∠APB，
∵平行四边形ABCD，
∴DC∥AB，
∴∠ABP=∠BPC，
∵AD=50，
∴AB=2AD=100，
在△APB中，由勾股定理得：PB=60，
∴tan∠AFE=tan∠APB==．

（4）∵AP=80，AB=2AD=100，
在△APB中，由勾股定理得：BP=60，
过P作PH⊥AB于H，
由三角形的面积公式得：AP×BP=AB×PH，
∴PH=48，
由平行四边形的面积公式得：AD×BE=AB×PH，
BE=96，
在△ABE中，由勾股定理得：AE==28，
∵tan∠AFE=，
∴tan∠EAF=tan∠FAB=，
∴=，
∵O′M=m，
∴AO′=m，
BO′=100-m，
过O′作O′N⊥BF于N，
则O′N=m，
∵O′N∥AE，
∴=，
∴=，
解得：m=，
答：m为时，⊙O′与AP、BF都相切．
分析：（1）根据平行四边形性质推出∠DAB+∠ABC=180°，根据角平分线定义求出∠PAB+∠PBA=90°，根据三角形的内角和定理求出即可；
（2）根据平行线的性质推出∠DA=∠PAB，推出∠DPA=∠DAP即可；
（3）证△AEF∽△APB，推出∠AFE=∠APB，证∠ABP=∠BPC，根据勾股定理求出BP，即可求出答案；
（4）过P作PH⊥AB于H，过O′作O′N⊥BF于N，求出高PH长，根据平行四边形面积求出BE，根据勾股定理求出AE，求出AO′=m，根据O′N∥AE，得出比例式=，代入求出即可．
点评：本题综合考查了对平行四边形的性质，锐角三角函数，三角形的面积，勾股定理，切线的性质和判定，角平分线定义，三角形的内角和定理等知识点的应用，此题综合性比较强，有一定的难度，对学生提出较高的要求，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．