Question

已知抛物线y＝x²－2x－3与x轴交于两点A、B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，顶点为M，P是线段BM上的一个动点(点P不与B、M重合)，作PQ⊥x轴于点Q．

(1)设OQ的长为t，四边形PQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

(2)在线段BM上是否存在点N，使△MNC为等腰三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

简解：(1)易求得A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)，M(1，－4)，直线BM的解析式为y－2x－6(上图)． 　　因点P在线段BM上，OQ的长为t，设P(t，2t－6)， 　　∴PQ＝|2t－6|＝6－2t． 　　(注意：点P在第四象限，它的纵坐标2t－6＜0，其绝对值6－2t为线段PQ的长．) 　　∴S＝S△ADC＋S梯形OCPQ 　　＝×1×|－3|＋[|－3|＋(6－2t)]·t 　　＝－t2＋t＋(1＜t＜3)． 　　(2)设线段BM上存在点N，使△MNC为等腰三角形． 　　设N(m，2m－6)， 　　∴CM2＝12＋12＝2． 　　MN2＝(m－1)2＋[4－(6－2m)]2． 　　{注意：2m－6是点N的纵坐标，其绝对值6－2m为点N到x轴所作垂线段的长，这是点N的纵坐标(2m－6)与它到x轴的垂线段的长(6－2m)之间的转化．读者自己画图根据勾股定理得出上述三式，其中第二式也可写成CN2＝m2＋[(6－2m)－3]2．} 　　若CN＝CM，则 　　m2－[3－(6－2m)]2＝2． 　　解得m＝1(舍)或m＝． 　　当m＝时，2m－6＝－， 　　∴N1(，－)． 　　[想一想：进行线段的长的计算时，为什么用(6－2m)？计算点N的纵坐标时，为什么用(2m－6)]？ 　　②若CM＝MN，③若CN＝MN，类似①可求得N2(1＋，－4)，N3(2，－2)． 　　点评：象限内的点的坐标与线段的长的转化，不容忽视的基础知识是：第一象限内的点的横、纵坐标均为正；第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正；第三象限内的横、纵坐标均为负；第四象限内的横坐标为正，纵坐标为负．这在解题过程中需加倍注意． 　　点的坐标与线段的长之间的转化，用到的基础知识虽然简单，但却很容易发生错误，主要愿因是忽视用字母(或含字母的代数代)表示点的坐标时点在坐标平面的位置，以致误把负数当作正数进行运算．认真体味以上题目，为解决相关题目可起到启示作用． 　　分析：先确定A、B、C、M及P、Q的位置，再探求S、t之间的函数关系式及点N的坐标．