如图1.2.A.B是y轴上的两点.C.D是x轴上的两点.E.F分别是BC.AD的中点．(1)如图1.过点C作x轴的垂线交AE的延长线于点P.求证:AB=PC,(2)如图1.连接EF.若AB=4.CD=2.求EF的长,(3)如图2.若AB=CD.当线段AB.CD分别在y轴.x轴上滑动时.直线EF与x轴正方向的夹角∠α的大小是否会发生变化?若变化.请你说明理由,若不变.请你求出∠α� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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3．如图1、2，A、B是y轴上的两点（点A在点B的上边），C、D是x轴上的两点（点C在点D的左边），E、F分别是BC、AD的中点．
（1）如图1，过点C作x轴的垂线交AE的延长线于点P，求证：AB=PC；
（2）如图1，连接EF，若AB=4，CD=2，求EF的长；
（3）如图2，若AB=CD，当线段AB、CD分别在y轴、x轴上滑动时，直线EF与x轴正方向的夹角∠α的大小是否会发生变化？若变化，请你说明理由；若不变，请你求出∠α的大小．

分析（1）欲证明AB=PC，只要证明△ABE≌△PCE即可．
（2）如图1中，连接DP，先求出DP，再利用三角形中位线定理即可解决．
（3）结论：∠α的大小不变，∠α=45°．如图2中，过点C作x轴的垂线交AE的延长线于点P，由（1）可知CP=AB=CD，再根据平行线的性质即可解决问题．

解答（1）证明：∵OA⊥OD，PC⊥OD，
∴AB∥PC，
∴∠EAB=∠EPC，
在△ABE和△PCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠EPC}\\{∠AEB=∠PEC}\\{BE=EC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△PCE，
∴AE=EP．
（2）如图1中，连接DP，

∵△AEB≌△PEC，
∴AE=EP，
∵CP=AB=4，CD=2，
∴DP=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵E、F分别是AP、AD中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$DP=$\sqrt{5}$．
（3）结论：∠α的大小不变，∠α=45°

理由：如图2中，过点C作x轴的垂线交AE的延长线于点P，
由（1）可知，CP=AB=CD，
∴∠CDP=45°，
∵EF∥DP，
∴∠α=∠CDP=45°．

点评本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会利用（1）的证明方法，添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

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