Question

根据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”．
（1）观察：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；…发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且

1

2

（9-1）=4，

1

2

（9+1）=5和

1

2

（25-1）=12，

1

2

（25+1）=13
发现规律：勾为n（n≥3，且n为奇数）时有：股=

1

2

（n²-1），弦=

1

2

（n²+1）分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式？
（2）根据（1）的规律，用n（n为奇数，且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾，股，弦，合理猜想它们之间的两种等量关系并对其中一种猜想加以证明？
（3）继续观察①4，3，5；②6，8，10；②8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用类似上述的探索的方法，直接用m（m为偶数，且m≥4）的代数式来表示它们的股和弦．

Answer 1

分析：（1）根据所给的勾股数之间的关系列出关系式即可；
（2）根据勾股数及勾股数平方之间的关系可猜想关系式1：弦-股=1；关系式2：勾²+股²=弦²，再列式证明即可；
（3）根据所给的勾股数找出三个数之间的关系即可．

解答：解：（1）7，24，25的股的算式是：

1

2

(49-1)=

1

2

(72-1)，（2分）
弦的算式是：

1

2

(49+1)=

1

2

(72+1)；（1分）

（2）当n为奇数，且n≥3时，勾、股、弦的代数式分别是：n，

1

2

(n2-1)，

1

2

(n2+1)，（2分）
猜想关系式1：弦-股=1；关系式2：勾²+股²=弦²，
例如关系式1证明：
弦-股=

1

2

(n2+1)-

1

2

(n2-1)=1，（2分）
或关系式2证明：
勾²+股²=n2+[

1

2

(n2-1)]2=

1

4

n4+

1

2

n2+

1

4

=

1

4

(n2+1)2=弦²，
∴猜想成立；

（3）当m为偶数，且m≥4时，
股、弦的代数式分别是：(

m

2

)2-1，(

m

2

)2+1．（2分）

点评：本题属规律性题目，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、证明即可．