Question

是否存在一个三角形的三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一内角2倍的△ABC？证明你的结论．

Answer 1

解：存在满足条件的三角形
当△ABC 的三边长分别为 a=6，b=4，c=5时，∠A=2∠B
如图，当∠A=2∠B时，延长BA至点D，使AD=AC=b，连接CD，则△ACD为等腰三角形
∵∠BAC为△ACD的一个外角，∴∠BAC=2∠D
由已知∠BAC=2∠B，则∠B=∠D
∴△CBD为等腰三角形
又∠D为△ACD与△CBD 的一个公共角，∴△ACD∽△CBD
于是=，即=，
∴a²=b（b+c）
∵6²=4（4+5），∴此三角形满足题设条件
故存在满足条件的三角形
说明：满足条件的三角形不是唯一的，
若∠A=2∠B，得a²=b（b+c），有以下三种情形：
（1）当a＞c＞b时，设a=n+1，c=n，b=n-1（n为大于1的正整数）
代入a²=b（b+c），得（n+1）²=（n-1）（2n-1）
解得n=5
∴a=6，b=4，c=5
（2）当c＞a＞b时，设c=n+1，a=n，b=n-1（n为大于1的正整数）
代入a²=b（b+c），得n²=2n（n-1）
解得n=2
∴a=2，b=1，c=3，此时不能构成三角形
（3）当a＞b＞c时，设a=n+1，b=n，c=n-1（n为大于1的正整数）
代入a²=b（b+c），得（n+1）²=n（2n-1）
即n²-3n-1=0，此方程无整数解
所以，三边长恰为三个连续的整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的三角形存在，而且只有三边长分别为4、5、6构成的三角形满足条件
分析：如图，当∠A=2∠B时，延长BA至点D，使AD=AC=b，连接CD，则△ACD为等腰三角形，若∠A=2∠B，得a²=b（b+c），有以下三种情形：
（1）当a＞c＞b时，（2）当c＞a＞b时，（3）当a＞b＞c时分别得出即可．
点评：本题是一道综合题，考查了三角形的内切圆和三角形的面积，难度较大．