Question

3．如图，正方形ABCD，G为BC延长线上一点，E为射线BC上一点，连接AE．
（1）若E为BC的中点，将线段EA绕着点E顺时针旋转90°，得到线段EF，连接CF．
①请补全图形；
②求证：∠DCF=∠FCG；
（2）若点E在BC的延长线上，过点E作AE的垂线交∠DCG的平分线于点M，判断AE与EM的数量关系并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）先补全图形如图所示，先判断△ABE≌△EHF，再利用点E是中点即可；
（2）先由CM平分∠DCG，∠DCG=∠BCD=90°判断出∠MCE=∠H=45°，再由平行线判断出∠DAE=∠AEC，得到三角形全等即可．

解答 解：（1）①补全图形，如图所示．

②证明：过F作FH⊥BG于H，连接EH，

由已知得AE⊥EF，AE=EF．
在正方形ABCD中，
∵∠B=∠AEF=∠EHF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°
∠AEB+∠BAE=90°
∴∠BAE=∠HEF
∴△ABE≌△EHF．
∴BE=FH，AB=EH，
∵E为BC中点，
∴BE=CE=CH=FH．
∴∠DCF=∠GCF=45°．
（2）证明：在BA延长线上取一点H，使BH=BE，连接EH． 
在正方形ABCD中，

∵AB=BC，
∴HA=CE．
∵∠B=90°，
∴∠H=45°．
∵CM平分∠DCG，∠DCG=∠BCD=90°，
∴∠MCE=∠H=45°．
∵AD∥BG，
∴∠DAE=∠AEC．
∵∠AEM=∠HAD=90°，
∴∠HAE=∠CEM．
∴△HAE≌△CEM．
∴AE=EM．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，解本题的关键是利用同角或等角的余角相等．