Question

20．在平面直角坐标系xOy中，四边形OACB是正方形，A点的坐标为（-3，0），点P是射线AO上（异于点A、O）一动点，直线CP与对角线AB及y轴分别交于点E，D．
（1）若AP：PO=2：1，求直线CP函数关系式；
（2）若点P在线段AO上，过点E作EF⊥y轴，垂足为F，当△OFE≌△POD时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，以PD为直径作⊙M．
①判断OE和⊙M的位置关系，并说明理由；
②当直线AB与⊙M相切时，直接写出BE的长．

Answer 1

分析 （1）先求出点P、C两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）由题意可知OF=OP时，△OEF≌△PDO，设OP=OF=x，则EF=BF=OD=AP=3-x，由OD∥AC，推出$\frac{OD}{AC}$=$\frac{OP}{AP}$，列出方程即可解决问题．
（3）①OE是⊙M的切线．只要证明OM⊥OE即可．
②首先证明∠BEO=∠MEO=∠MEK=60°，作OH⊥AB于H，在Rt△OBH中，由∠OBH=45°，BC=3，推出BH=OH=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，在Rt△OHE中，由∠EOH=30°，推出EH=OH•tan30°=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，由此即可解决问题．

解答 解：（1）①当P在O左侧时，∵四边形ABCD是正方形，OA=3，
∴C（-3，3），
∵AP：OP=2：1，
∴AP=2，OP=1，
∴P（-1，0），
设直线PC的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=3}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线PC的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x-$\frac{3}{2}$．
②当P在O右侧时，同法可得直线PC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$．

（2）如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴O、C关于AB对称，
∴∠BCP=∠BOE，
∵BC∥OA，
∴∠BCP=∠APC，
∵∠APC=∠DPO，
∴∠DPO=∠EOF，
∴OF=OP时，△OEF≌△PDO，设OP=OF=x，则EF=BF=OD=AP=3-x，
∵OD∥AC，
∴$\frac{OD}{AC}$=$\frac{OP}{AP}$，
∴$\frac{3-x}{3}$=$\frac{x}{3-x}$，
解得x=$\frac{9-3\sqrt{5}}{2}$或$\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$（舍弃），
∴P（$\frac{3\sqrt{5}-9}{2}$，0）．

（3）①结论：OE是⊙M的切线．
理由：如图2中，

由（2）可知，∠EOF=∠DPO，
∵MP=MO=MD，
∴∠MDO=∠MOP，
∵∠MDO+∠DPO=90°，
∴∠MOP+∠EOF=90°，
∴∠EOM=90°，
∴MO⊥OE，
∴OE是⊙M的切线．

②如图3中，

∵直线AB与⊙M相切于K，OE与⊙M相切，
∴∠MEK=∠MEO，
∵∠MEK=∠CEB=∠BEO，
∴∠BEO=∠MEO=∠MEK=60°，作OH⊥AB于H，
在Rt△OBH中，∵∠OBH=45°，BC=3，
∴BH=OH=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△OHE中，∵∠EOH=30°，
∴EH=OH•tan30°=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴EB=BH+EH=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查圆综合题、一次函数的应用、全等三角形的判定和性质、切线的判定和性质、锐角三角函数、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用方程的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．