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    如图，△OAB是边长为4+2
    		3
    的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴的正半轴上．将△精英家教网OAB折叠，使点A与OB边上的点P重合，折痕与OA、AB的交点分别是E、F．如果PE∥x轴，
    （1）求点P、E的坐标；
    （2）如果抛物线y=-
    1
    2
    x2+bx+c经过点P、E，求抛物线的解析式．
    分析：（1）求E点的坐标就要求出OP，PE的值，在直角三角形OPE中，∠POE=60°，因此OE=2OP，PE=
    		3
    OP，而OA=OE+AE=2OP+
    		3
    OP，据此可求出OP，OE，PE的长．由此求出P和E点的坐标．
    （2）将P、E的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．
    解答：解：（1）设OP=x，则OE=2x，PE=
    		3
    x．
    根据折叠的性质可得AE=PE=
    		3
    x，
    则有OA=OE+AE=OE+PE=2x+
    		3
    x=4+2
    		3
    ，
    ∴x=2，
    ∴OP=2，PE=2
    		3
    ，
    因此P（0，2），E（2
    		3
    ，2）；

    （2）将P、E坐标代入抛物线可得：
    -
    1
    2
    ×12+2
    		3
    b+c=2
    c=2
    ，
    解得：
    b=
    		3
    c=2
    ，
    ∴抛物线的解析式为y=-
    1
    2
    x2+
    		3
    x+2．
    点评：本题着重考查了等边三角形的性质、图形旋转变换、待定系数法求二次函数解析式等重要知识点．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y=-
    		3 
    3
    x    +m与x轴交于点E．
    （1）求点E的坐标；
    （2）求过A、O、E三点的抛物线解析式；
    （3）若点P是（2）中求出的抛物线AE段上一动点（不与A、E重合），设四边形OAPE的面积为S，求S的最大值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，△OAB是边长为2+
    		3
    的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴正方向上，将△OAB折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF．
    （1）当A′E∥x轴时，求点A′和E的坐标；
    （2）当A′E∥x轴，且抛物线y=-
    1
    6
    x2+bx+c经过点A′和E时，求抛物线与x轴的交点的坐标；
    （3）当点A′在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形？精英家教网若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，△OAB是边长为2+
    		3
    的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴的正方向上，将△OAB折叠，使点A落在OB边上，记为A′，折痕为EF．
    （1）当A′E∥x轴时，求点A'的坐标和直线A′F所对应的函数关系式；
    （2）在OB上是否存在点A′，使四边形AFA′E是菱形？若存在，请求出此时点A′的坐标；若不存在，请说明理由；
    （3）当点A′在OB上运动但不与点O、B重合，能否使△A′EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，△OAB是边长为2+
    		3
    的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴正方向上，将△OAB 折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF．
    （1）当A′E∥x轴时，求点A′和E的坐标；
    （2）当A′E∥x轴，且抛物线y=-
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    x2+bx+c    经过点A′和E时，求抛物线与x轴的交点的坐标．

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