Question

5．已知，如图坐标平面内，A（-2，0），B（0，-4），AB⊥AC，AB=AC，△ABC经过平移后，得△A′B′C′，B点的对应点B′（6，0），A，C对应点分别为A′，C′．
（1）求C点坐标；
（2）直接写出A′，C′坐标，并在图（2）中画出△A′B′C′；
（3）P为y轴负半轴一动点，以A′P为直角边以A’为直角顶点，在A′P右侧作等腰直角三角形A′PD．①试证明点D一定在x轴上；②若OP=3，求D点坐标．

Answer 1

分析 （1）由点的坐标得出AO=2，BO=4，作CH⊥x轴于H，证出∠ACH=∠BAO，由AAS证明△ACH≌△BAO，得出AH=BO=4，CH=AO=2，求出OH=AO+AH=6，即可得出点C的坐标；C（-6，-2）；
（2）由B（0，-4）和B′（6，0），得出△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得△A′B′C′，即可得出A′，C′坐标，画出图形即可；
（3）①连B′D，延长DB′交PC′于E，交A′P于F，由等腰直角三角形的性质得出A′B′=A′C′，A′P=A′D，∠B′A′C′=∠DA′P=90°，证出∠PA′C′=∠DA′B′，由SAS证明△A′DB′≌△A′PC′，得出∠A′DB′=∠A′PC′，由三角形内角和得出∠PEF=∠PA′D=90°，得出DB′⊥y轴，即可得出D点在x轴上；
②由全等三角形的性质得出B′D=C′P=5，得出OD=11，即可得出答案．

解答 解：（1）∵A（-2，0），B（0，-4），
∴AO=2，BO=4，
作CH⊥x轴于H，如图1所示：
则∠CHA=90°=∠AOB，
∴∠ACH+∠CAH=90°，
∵AB⊥AC，
∴∠BAO+∠CAH=90°，
∴∠ACH=∠BAO，
在△ACH和△BAO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CHA=∠AOB}&{\;}\\{∠ACH=∠BAO}&{\;}\\{AC=BA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACH≌△BAO（AAS），
∴AH=BO=4，CH=AO=2，
∴OH=AO+AH=6，
∴C（-6，-2）；
（2）∵B（0，-4），B′（6，0），
∴△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度，
∴A′（4，4），C′（0，2）；
（3）①连B′D，延长DB′交PC′于E，交A′P于F，如图3所示：
∵△A′B′C′和△A′PD是等腰直角三角形，
∴A′B′=A′C′，A′P=A′D，∠B′A′C′=∠DA′P=90°，
∴∠PA′C′=∠DA′B′，
在：△A′DB′和△A′PC′中，$\left\{\begin{array}{l}{A′D=A′P}&{\;}\\{∠B′A′D=∠PA′C′}&{\;}\\{A′B′=A′C′}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△A′DB′≌△A′PC′（SAS），
∴∠A′DB′=∠A′PC′，
∵∠PFE=∠A′FD，
∴∠PEF=∠PA′D=90°，
∴DB′⊥y轴，
∴D点在x轴上；
②∵△A′DB′≌△A′PC′得，
∴B′D=C′P=5，
∴OD=11，
∴D（11，0）．

点评 本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、平移的性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．