分析 (1)由点的坐标得出AO=2,BO=4,作CH⊥x轴于H,证出∠ACH=∠BAO,由AAS证明△ACH≌△BAO,得出AH=BO=4,CH=AO=2,求出OH=AO+AH=6,即可得出点C的坐标;C(-6,-2);
(2)由B(0,-4)和B′(6,0),得出△ABC向上平移4个单位长度,再向右平移6个单位长度得△A′B′C′,即可得出A′,C′坐标,画出图形即可;
(3)①连B′D,延长DB′交PC′于E,交A′P于F,由等腰直角三角形的性质得出A′B′=A′C′,A′P=A′D,∠B′A′C′=∠DA′P=90°,证出∠PA′C′=∠DA′B′,由SAS证明△A′DB′≌△A′PC′,得出∠A′DB′=∠A′PC′,由三角形内角和得出∠PEF=∠PA′D=90°,得出DB′⊥y轴,即可得出D点在x轴上;
②由全等三角形的性质得出B′D=C′P=5,得出OD=11,即可得出答案.
解答 解:(1)∵A(-2,0),B(0,-4),
∴AO=2,BO=4,
作CH⊥x轴于H,如图1所示:
则∠CHA=90°=∠AOB,
∴∠ACH+∠CAH=90°,
∵AB⊥AC,
∴∠BAO+∠CAH=90°,
∴∠ACH=∠BAO,
在△ACH和△BAO中,$\left\{\begin{array}{l}{∠CHA=∠AOB}&{\;}\\{∠ACH=∠BAO}&{\;}\\{AC=BA}&{\;}\end{array}\right.$,
∴△ACH≌△BAO(AAS),
∴AH=BO=4,CH=AO=2,
∴OH=AO+AH=6,
∴C(-6,-2);
(2)∵B(0,-4),B′(6,0),
∴△ABC向上平移4个单位长度,再向右平移6个单位长度,
∴A′(4,4),C′(0,2);
(3)①连B′D,延长DB′交PC′于E,交A′P于F,如图3所示:
∵△A′B′C′和△A′PD是等腰直角三角形,
∴A′B′=A′C′,A′P=A′D,∠B′A′C′=∠DA′P=90°,
∴∠PA′C′=∠DA′B′,
在:△A′DB′和△A′PC′中,$\left\{\begin{array}{l}{A′D=A′P}&{\;}\\{∠B′A′D=∠PA′C′}&{\;}\\{A′B′=A′C′}&{\;}\end{array}\right.$,
∴△A′DB′≌△A′PC′(SAS),
∴∠A′DB′=∠A′PC′,
∵∠PFE=∠A′FD,
∴∠PEF=∠PA′D=90°,
∴DB′⊥y轴,
∴D点在x轴上;
②∵△A′DB′≌△A′PC′得,
∴B′D=C′P=5,
∴OD=11,
∴D(11,0).
点评 本题是三角形综合题目,考查了全等三角形的判定与性质、平移的性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的性质等知识;本题综合性强,有一定难度,证明三角形全等是解决问题的关键.
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A. | a>1 | B. | b>-1 | C. | a+b>0 | D. | $\frac{a}{b}<0$ |
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