Question

【题目】如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的中线，过A，D两点的⊙O交AC于E，弦EF∥BC．

（1）求证：AD＝EF；

（2）若O在AC边上，且⊙O与BC边相切，当EF＝2时，求的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）π．

【解析】

（1）连接DF，根据直角三角形斜边中线的性质得出AD=CD，得出∠DAC=∠C，根据圆周角定理得出∠DFE=∠DAC，即可得出∠DFE=∠C，根据平行线的性质和判定即可证得FD∥EC，得出四边形EFDC是平行四边形，即可证得结论；

（2）连接OF，DE，根据直角三角形斜边中线的性质和切线的性质得出∠DAC=∠C=∠EDC，根据圆周角定理得出∠ADE=90°，根据三角形内角和定理求得∠C=30°，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得出∠EOF=120°，解直角三角形求得半径的长，然后根据弧长公式即可求得．

（1）如图，连接DF，

∵AD是Rt△ABC斜边BC上的中线，

∴AD＝DC，

∴∠DAC＝∠C，

∵∠DFE＝∠DAC，

∴∠DFE＝∠C，

∵EF∥BC，

∴∠CEF+∠C＝180°，

∴∠DFE+∠CEF＝180°，

∴FD∥EC，

∴四边形EFDC是平行四边形，

∴EF＝DC，

∴AD＝EF．

（2）如图，连接OF，DE，

∵AD是Rt△ABC斜边BC上的中线，

∴AD＝DC，

∴∠DAC＝∠C，

∵⊙O与BC边相切，

∴∠EDC＝∠DAC，

∴∠EDC＝∠C，

∵AE是直径，

∴∠ADE＝90°，

∵∠ADC+∠DAC+∠C＝180°，

∴90°+3∠C＝180°，

∴∠C＝30°，

∵EF∥BC，

∴∠OEF＝∠C＝30°，

∴OE＝＝＝，

∵OE＝OF，

∴∠OFE＝∠OEF＝30°，

∴∠EOF＝120°，

∴的长＝＝π．