Question

如图，有一直径MN=4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴，位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A．
解答下列问题：
（1）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，该纸片所扫过图形的面积；
（2）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数；
（3）求点A在数轴上表示的数．

Answer 1

分析：（1）根据扇形面积公式分别求出面积即可；
（2）根据位置Ⅰ中

ON

的长与数轴上线段ON相等求出

ON

的长，再根据弧长公式求出

ON

的长，进而可得出结论；
（3）作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接PA，则四边形PHCA为矩形，在Rt△NPH中，根据sin∠NPH=

NH

PN

=

1

2

即可∠NPH、∠MPA的度数，进而可得出

MA

的长，即可得出答案．

解答：解：（1）∵S_半圆=

180π×22

360

=2π，S_扇形=

90π×42

360

=4π，
∴半⊙P所扫过图形的面积为：2π+4π=6π．

（2）∵位置Ⅰ中

ON

的长与数轴上线段ON相等，

ON

的长为

90π×2

180

=π，NP=2，
∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为：π+2．

（3）如图，作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接PA，则四边形PHCA为矩形．
在Rt△NPH中，PN=2，NH=NC-HC=NC-PA=1，
于是sin∠NPH=

NH

PN

=

1

2

，
∴∠NPH=30°．
∴∠MPA=60°．
从而

MA

的长为

60π×2

180

=

2π

3

，于是OA的长为：π+4+

2

3

π=

5

3

π+4．
∴点A在数轴上表示的数为：

5

3

π+4．

点评：本题考查了直线与圆的关系、弧长的计算、扇形的面积公式，在解答此题时要注意Ⅰ中

ON

的长与数轴上线段ON相等的数量关系．