Question

【题目】如图，在矩形OABC中，点O为原点，边OA的长度为8，对角线AC=10，抛物线y=x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．

①求S关于m的函数表达式并求出S最大时的m值；

②在S最大的情况下，在抛物线y=x2+bx+c的对称轴上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)y=x+x+8 (2)①m=5②F1（，8），F2（，4）， (,6+) ， (,6-)．

【解析】分析：（1）先根据勾股定理求出OC长度，进而确定点C坐标；将A、C两点坐标代入抛物线y=x2+bx+c，即可求得抛物线的解析式；
（2）①先用m表示出QE的长度，进而求出三角形的面积S关于m的函数；
②分类讨论，写出满足条件的F点的坐标即可，注意不要漏写．

详解：（1）在矩形OABC中，∠AOC=90°，

由勾股定理可得，OC=，∴C（6，0），

将A（0，8）、C（6，0）两点坐标代入抛物线，得

，

解得， ，

∴抛物线的解析式为；

（2）如图：①过点Q作QE⊥BC与E点，则sin∠，

∴，

∴QE=（10﹣m），

∴S=，

∵S=，

∴当m=5时，S取最大值；

②在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形，

∵抛物线的对称轴为x=，

D的坐标为（3，8），Q（3，4），

当∠FDQ=90°时，F1（，8），

当∠FQD=90°时，则F2（，4），

当∠DFQ=90°时，设F（，n），

则FD2+FQ2=DQ2， ，

解得，n=，

∴F3（， ），F4（， ），

综上所述，满足条件的点F共有四个，坐标分别为F1（，8），F2（，4），F3（， ），F4（， ）．