Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过，，三点，点的坐标是，点的坐标是，动点在抛物线上．

________，________，点的坐标为________；（直接填写结果）

是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由；

过动点作垂直轴于点，交直线于点，过点作轴的垂线．垂足为，连接，当线段的长度最短时，求出点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）-2，-3，（-1，0）（2）存在的坐标是或（3）或

【解析】

（1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，然后令y=0可求得点B的坐标；

（2）分别过点C和点A作AC的垂线，将抛物线与P1，P2两点先求得AC的解析式，然后可求得P1C和P2A的解析式，最后再求得P1C和P2A与抛物线的交点坐标即可；

（3）连接OD．先证明四边形OEDF为矩形，从而得到OD=EF，然后根据垂线段最短可求得点D的纵坐标，从而得到点P的纵坐标，然后由抛物线的解析式可求得点P的坐标．

（1）∵将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：b=﹣2，c=﹣3，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．

∵令x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴点B的坐标为（﹣1，0）．

故答案为：﹣2；﹣3；（﹣1，0）．

（2）存在．理由如下：

如图所示：

①当∠ACP1=90°．

由（1）可知点A的坐标为（3，0）．

设AC的解析式为y=kx﹣3．

∵将点A的坐标代入得：3k﹣3=0，解得：k=1，∴直线AC的解析式为y=x﹣3，∴直线CP1的解析式为y=﹣x﹣3．

∵将y=﹣x﹣3与y=x2﹣2x﹣3联立解得：，（舍去），∴点P1的坐标为（1，﹣4）．

②当∠P2AC=90°时．

设AP2的解析式为y=﹣x+b．

∵将x=3，y=0代入得：﹣3+b=0，解得：b=3，∴直线AP2的解析式为y=﹣x+3．

∵将y=﹣x+3与y=x2﹣2x﹣3联立解得：，（舍去），∴点P2的坐标为（﹣2，5）．2

综上所述：P的坐标是（1，﹣4）或（﹣2，5）．

（3）如图2所示：连接OD．

由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．

根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．

由（1）可知．在Rt△AOC中，∵OC=OA=3，OD⊥AC，∴D是AC的中点．

又∵DF∥OC，∴，∴点P的纵坐标是，解得：，∴当EF最短时，点P的坐标是：（）或（）．