Question

【题目】如图， 为 的直角边 上一点，以 为半径的 与斜边 相切于点 ，交 于点 ．已知 ， ．

（1）求 的长；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在Rt△ABC中，AB= = =2 .

∵BC⊥OC

∴BC是⊙O的切线

又∵AB是⊙O的切线

∴BD=BC=

∴AD=AB-BD=

（2）

解：在Rt△ABC中，sinA= ==.

∴∠A=30°.

∵AB切⊙O于点D.

∴OD⊥AB.

∴∠AOD=90°-∠A=60°.

∵ =tanA=tan30°.

∴ =.

∴OD=1.

S阴影==.

【解析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，然后根据切线的判定证出BC为切线，然后可根据切线长定理可求解.
（2）在Rt△ABC中，根据∠A的正弦求出∠A度数，然后根据切线的性质求出OD的长，和扇形圆心角的度数，再根据扇形的面积公式可求解.
【考点精析】认真审题，首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2)，还要掌握切线的性质定理(切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径)的相关知识才是答题的关键．