Question

5．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，平行四边形ABCD的顶点A的坐标为（-2，0），点D的坐标为（0，2$\sqrt{3}$），且AB：AD=3：2，点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线与x轴交于点F（-4，0），与DC交于点G．
（1）求?ABCD的面积；
（2）求点G的坐标；
（3）若过点F的直线l平分?ABCD的面积，求直线l的解析式．

Answer 1

分析 （1）要求?ABCD的面积，只要求出AB的长和OD的长即可，由点A（-2，0），点D（0，2$\sqrt{3}$），∠AOD=90°，可以得到OD的长和AD的长，由AB：AD=3：2，可以得到AB的长，本题得以解决；
（2）要求点G的坐标，由题意可得点E为线段AD的中点，通过证明△DEG与△AEF全等，可以说明点E为线段FG的中点，从而可以得到点G的坐标；
（3）要求直线l的解析式，由过点F的直线l平分?ABCD的面积，可以得到直线l过平行四边形的中心，由题意可以得到平行四边形的中心的坐标，从而可以求出直线l的解析式．

解答 解：（1）∵点A（-2，0），点D（0，2$\sqrt{3}$），∠AOD=90°，
∴OA=2，OD=$2\sqrt{3}$，
∴AD=$\sqrt{O{A}^{2}+O{D}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}=4$，
∵AB：AD=3：2，
∴AB=6，
∴S_?ABCD=AB•OD=6×$2\sqrt{3}$=12$\sqrt{3}$；
（2）∵点E是线段AD的中点，
∴点E（-1，$\sqrt{3}$），
设点G的坐标为（x，y），
∵DG∥AB，
∴∠DGE=∠AFE，
在△DGE和△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DGE=∠AFE}\\{∠AEF=∠DEG}\\{ED=EA}\end{array}\right.$，
∴△DGE≌△AFE（AAS），
∴FE=EG，
即点E为线段FG的中点，
∵点F（-4，0），点G（x，y），点E（-1，$\sqrt{3}$），
∴$\frac{-4+x}{2}$=-1，$\frac{0+y}{2}$=$\sqrt{3}$，
解得，x=2，y=2$\sqrt{3}$，
即点G的坐标是（2，2$\sqrt{3}$）；
（3）∵过点F的直线l平分?ABCD的面积，
∴直线l过平行四边形的中心点H，如右图所示，
∵点D（0，2$\sqrt{3}$），点B（4，0），
∴点H（2，$\sqrt{3}$），
设过点F（-4，0），点H（2，$\sqrt{3}$）的直线l的解析式为y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{2k+b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{6}}\\{b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$
即直线l的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{6}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查平行四边形综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，找出题目中的隐含条件，尤其是第（3）问中过点F的直线l平分?ABCD的面积，可知直线l过平行四边形的中心，利用数形结合的思想解答．