分析 分类讨论:当k<0,如图1,作BE⊥y轴于E,DF⊥x轴于F,设∠AOD=α,则∠EBO=α,利用三角函数的定义可得DF=2sinα,BE=2cosα,则根据三角形面积公式得到S四边形ADBC=S△AOD+S△BOC+S△AOC=2sinα+2cosα+2,利用三角公式得到S四边形ADBC=2$\sqrt{2}$sin(45°+α)+2,利用正弦的性质得sin(45°+α)≤1,于是可得此时S四边形ADBC的最大值为2$\sqrt{2}$+2;当k>0,如图2,作BE⊥y轴于E,DF⊥x轴于F,设∠AOD=α,则∠EBO=α,同理可得DF=2sinα,OF=2cosα,BE=2cosα,OE=2sinα,根据三角形面积公式得S四边形ABCD=S△AOB+S△AOD+S△DOC+S△BOC=4sinα+4cosα,同样可得S四边形ABCD=4$\sqrt{2}$sin(45°+α),由于sin(45°+α)≤1,则可得到S四边形ADBC的最大值为4$\sqrt{2}$,综上所述,四点A、B、C、D组成的四边形面积的最大值为4$\sqrt{2}$.
解答 解:当k<0,如图1,作BE⊥y轴于E,DF⊥x轴于F,设∠AOD=α,则∠EBO=α,
∵⊙O经过点A(2,0)、C(0,2),
∴⊙O的半径为2,
在Rt△OFD中,∵sin∠FOD=$\frac{DF}{OD}$,
∴DF=2sinα,
同理可得BE=2cosα,
S四边形ADBC=S△AOD+S△BOC+S△AOC
=$\frac{1}{2}$•2•2sinα+$\frac{1}{2}$•2•cosα+$\frac{1}{2}$•2•2
=2sinα+2cosα+2
=2$\sqrt{2}$($\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα)+2
=2$\sqrt{2}$(sin45°•cosα+cos45°•sinα)+2
=2$\sqrt{2}$sin(45°+α)+2,
∵sin(45°+α)≤1,
∴S四边形ADBC≤2$\sqrt{2}$+2,即此时S四边形ADBC的最大值为2$\sqrt{2}$+2;
当k>0,如图2,作BE⊥y轴于E,DF⊥x轴于F,设∠AOD=α,则∠EBO=α,
同理可得DF=2sinα,OF=2cosα,BE=2cosα,OE=2sinα,
S四边形ABCD=S△AOB+S△AOD+S△DOC+S△BOC
=$\frac{1}{2}$•2•2sinα+$\frac{1}{2}$•2•sinα+$\frac{1}{2}$•2•cosα+$\frac{1}{2}$•2•cosα
=4sinα+4cosα
=4$\sqrt{2}$($\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα)
=2$\sqrt{2}$(sin45°•cosα+cos45°•sinα)
=4$\sqrt{2}$sin(45°+α)
∵sin(45°+α)≤1,
∴S四边形ADBC≤4$\sqrt{2}$,即此时S四边形ADBC的最大值为4$\sqrt{2}$,
综上所述,四点A、B、C、D组成的四边形面积的最大值为4$\sqrt{2}$.
故答案为4$\sqrt{2}$.
点评 本题考查了圆的综合题:熟练掌握圆的有关性质和一次函数的性质;理解坐标与图形性质;学会构造直角三角形和解直角三角形;会运用三角函数公式.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 掷一枚硬币,正面一定朝上 | |
B. | 某种彩票中奖概率为1%,是指买100张彩票一定有1张中奖 | |
C. | 旅客上飞机前的安检应采用抽样调查 | |
D. | 方差越大,数据的波动越大 |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 5 | B. | 6 | C. | 7 | D. | 8 |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{1}{3}$ | C. | $\frac{1}{4}$ | D. | $\frac{3}{4}$ |
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