Question

1．在等腰三角形ABC中，AB=AC，CD⊥AB，垂足为D．若D恰好为AB的三等分点，则tanA=$\frac{\sqrt{5}}{2}$或2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先利用勾股定理，求出CD的长，根据正切的意义，计算出正切值．由于点D在AB的三等分点上，所以有两种情况，需要分类讨论．

解答 解：设AB=AC=a，
（1）若AD=$\frac{2}{3}AB$时，即AD=$\frac{2}{3}a$，
在Rt△ACD中，
CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$
=$\sqrt{{a}^{2}-\frac{4}{9}{a}^{2}}$
=$\frac{\sqrt{5}}{3}a$，
∴tanA=$\frac{CD}{AD}=\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}a}{\frac{2}{3}a}$
=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
（2）若AD=$\frac{1}{3}AB$时，即AD$\frac{1}{3}a$，
在Rt△ACD中，
CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$
=$\sqrt{{a}^{2}-\frac{1}{9}{a}^{2}}$
=$\frac{2\sqrt{2}}{3}a$，
∴tanA=$\frac{CD}{AD}$
=$\frac{2\sqrt{2}}{3}a$÷$\frac{1}{3}a$
=2$\sqrt{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$或2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了解直角三角形的性质、勾股定理等相关知识．理解点D在AB的三等分点上，分类讨论是解决本题的关键．