Question

16．已知关于x的函数y=ax²+x+1-a（a为常数）
（1）若函数的图象与坐标轴恰有两个交点，求a的值；
（2）若函数的图象是抛物线，开口向上且顶点在x轴下方，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a=0时，函数为一次函数；当a≠0时，△=0或1-a=0时函数的图象与坐标轴恰有两个交点；
（2）开口向上可知a＞0，顶点在x轴下方则△＞0．

解答 解：（1）当a=0时，y=x+1与x轴和y轴各有一个交点，
当a≠0时该函数是二次函数，分两种情况：
①△=0，即1²-4a（1-a）=0，解得a=$\frac{1}{2}$
②1-a=0，解得，a=1 
所以a的取值是0、$\frac{1}{2}$、1．
（2）∵开口向上，顶点在x轴的下方，
∴a＞0，且△=1²-4a（1-a）=1-4a+4a²=（1-2a）²＞0．
∴a＞0，且a≠$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．