Question

已知二次函数过点（0，3），且最低点是A（1，2）
（1）求该函数的解析式y
（2）设y在m≤x≤m+1的最小值是y₀，求y₀的表达式，如果y₀存在最小值，请求出最小值．
（3）在y₀的图象上，是否存在一点B，使得AB的长度为1，如果存在，请求出B的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题,二次函数的性质,待定系数法求二次函数解析式,两点间的距离

专题：综合题

分析：（1）根据最低点坐标设出顶点式函数解析式，然后把点（0，3）代入进行计算即可得解；
（2）根据（1）中的函数解析式分①m+1＜1，②m＞1，③0＜m＜1三种情况，根据二次函数的增减性，分段表示出最小值的表达式；
（3）根据函数表达式作出图形，然后结合图形根据两点间的距离公式列式进行计算即可求解．

解答：解：（1）根据题意，设函数解析式为y=a（x-1）²+2，
∵二次函数过点（0，3），
∴a+2=3，
解得a=1，
∴函数的解析式y=（x-1）²+2；

（2）①m+1＜1，即m＜0时，函数值y随x的增大而减小，
∴当x=m+1时，函数有最小值y₀=（m+1-1）²+2=m²+2，
②m＞1时，函数值y随x的增大而增大，
∴当x=m时，函数有最小值y₀=（m-1）²+2；
③0＜m＜1时，x=1时，数有最小值y₀=2；
综上所述，y₀的表达式为y₀=

m2+2(m＜0) 2(0≤m≤1) (m-1)2+2(m＞1)

，
最小值为y₀=2；

（3）根据图象可得点B为（0，2）时，AB=1，
当m＞1时，设点B的坐标为（m，（m-1）²+2），
则AB=

(m-1)2+[(m-1)2+2-2]2

=1，
整理的（m-1）⁴+（m-1）²-1=0，
解得（m-1）²=

5 -1

2

，
∴m²-2m+1-

6-2 5

4

=0，
即2m²-4m-1+

5

=0，
解得m=

1+ 5

2

或m=

3- 5

2

（小于1，舍去），
当m=

1+ 5

2

时，（m-1）²+2=

7- 5

2

，
综上所述，存在点B（0，2）或（

1+ 5

2

，

7- 5

2

），使AB=1．

点评：本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，以及两点间的距离公式，计算稍微麻烦一些，需要细心求解．