Question

在Rt△ABC中，AC=BC，P是BC中垂线MN上一动点，连接PA，交CB于E，F是点E关于MN的对称点，连接PF延长交AB于D，连接CD交PA于G．

（1）若P点移动到BC上时，如图点P，E，F重合，若PD=a，CD=b，则AP=______（用含a，b的式子表示）；
（2）若点P移动到BC的上方时，如图，其它条件不变，求证：CD⊥AE；
（3）若点P移动到△ABC的内时，其它条件不变，线段AE，CD，DE有什么确定的数量关系，请画出图形，并直接写出结论（不必证明）．

Answer 1

解：（1）如图2，AP=a+b；

（2）证明：如图3，作∠ACB的角平分线交AP于H，
∵∠ACB=90°
∴∠BCH=∠ACH=45°
在Rt△ABC中
∵BC=AC
∴∠B=45°
又∵P为BC的中垂线MN上一点，E，F关于MN对称
∴CE=BF，PE=PF
∴∠PEF=∠PFE
∴∠CEH=∠BFD
∴△CEH≌△BFD
∴CH=BD
∴△ACH≌△CBD
∴∠BCD=∠CAH
∵∠CAE+∠CEA=90°
∴∠GCE+∠CEG=90°
∴∠CGH=90°
∴CD⊥AE；

（3）如图1，AE=CD+DF．
分析：（1）可通过构建全等三角形得出角相等来求证．要证AP=CD+PD，那么就要证出PH=PD，AH=CD，那么可构建与三角形BCD全等的三角形来求解．过C作∠BCA的平分线交AP于H，那么就是证三角形ACH和BDC全等，已知AC=BC，∠ACH=∠B=45°，只要证出CH=BD就能得出两三角形全等，那么我们可通过全等三角形CHE和BDF来求证．E，F重合，MN垂直平分BC，那么CP=PB，∠CPH=90-∠HPN=90°-∠NPD=∠DPB，而∠HCB=∠B=45°，由此可得出两三角形全等，也就得出了CH=BD，PH=PD进而得出AH=CD，这样就能得出AE=AH+PH=CD+PD=a+b；
（2）可通过构建全等三角形得出角相等来求证．要证CG⊥AP，那么就要证出∠BCD=∠CAH，那么可构建与三角形BCD全等的三角形来求解．过C作∠BCA的平分线交AP于H，那么就是证三角形ACH和BDC全等，已知AC=BC，∠ACH=∠B=45°，只要证出CH=BD就能得出两三角形全等，那么我们可通过全等三角形CHE和BDF来求证．由于E，F关于MN对称，那么CE=BF，PE=PF，可得出∠PEF=∠PFE，也就是∠CEH=∠DFB，又已知了∠HCB=∠B=45°，因此就能得出三角形CEH与DFB全等，就能得出CH=BD，也就能得出三角形AHC与三角形BDC全等了．进而可通过∠DCB=∠CAG来得出CG⊥AP；
（3）方法同（1）完全一样．
点评：本题主要考查了对称的性质，等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定等知识点，根据已知和所求的条件构建出全等三角形是解题的关键．