Question

9．在菱形ABCD中，对角线BD=4$\sqrt{5}$，菱形ABCD的面积为20．
（1）菱形的边长AB=5．
（2）点P为线段BD上一动点（不与B，D重合），连接PC，点Q在BC上，且∠QPC=∠DBC，当PB为何值时，QC有最小值．

Answer 1

分析 （1）根据四边形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，根据菱形的面积公式得到AC=2$\sqrt{5}$，根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到$\frac{BP}{CD}=\frac{BQ}{DP}$，即$\frac{BP}{5}=\frac{5-CQ}{4\sqrt{5}-BP}$，设BP=x，CQ=y，于是得到4$\sqrt{5}$x-x²=25-5y，求得y=$\frac{{x}^{2}-8\sqrt{5}x+25}{5}$=$\frac{1}{5}$（x-2$\sqrt{5}$）²+1，即可得到结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴$\frac{1}{2}$BD•AC=菱形ABCD的面积，
∴$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{5}$•AC=20，
∴AC=2$\sqrt{5}$，
∴AO=$\sqrt{5}$，BO=2$\sqrt{5}$，
∴AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=5；
故答案为：5；

（2）∵∠DBC=∠BDC=∠QPC，∠BPC=∠BPQ+∠QPC，∠BPC=∠BDC+∠PCD，
∴∠BPQ=∠PCD，
∴△BPQ∽△DCP，
∴$\frac{BP}{CD}=\frac{BQ}{DP}$，
即$\frac{BP}{5}=\frac{5-CQ}{4\sqrt{5}-BP}$，
设BP=x，CQ=y，
∴4$\sqrt{5}$x-x²=25-5y，
∴y=$\frac{{x}^{2}-8\sqrt{5}x+25}{5}$=$\frac{1}{5}$（x-2$\sqrt{5}$）²+1，
∴当x=2$\sqrt{5}$时，y有最小值，
即PB为2$\sqrt{5}$时，QC有最小值．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，二次函数的最值，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．