Question

9．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，G在AD上，且DF=BE．①CE=CF；②EC⊥CF；③△ECG≌△FCG，④若∠GCE=45°，则EG=BE+GD，以上说法正确的是①②④．

Answer 1

分析 由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°，可判断①②；当∠GCE=45°时可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立，可判断③④．

解答 解：∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD，∠B=∠CDF=90°，
在△BCE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DF}\\{∠B=∠CDF}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴CE=CF，∠BCE=∠DCF，
∵∠BCD=90°，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD=90°，
∴∠ECF=90°，
∴CE⊥CF，
故①②正确；
当∠GCE=45°时，则∠BCE+∠DCG=45°，
∵∠BCE=∠DCF，
∴∠DCF=∠DCG+∠DCF=45°=∠GCE，
在△ECG和△FCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CF}\\{∠GCE=∠GCF}\\{CG=CG}\end{array}\right.$，
∴△ECG≌△FCG（SAS），
∴GE=GF=DF+GD=BE+GD，
故③不一定正确，④正确；
综上可知正确的为：①②④，
故答案为：①②④．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质和正方形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即对SSS、SAS、ASA、AAS和HL的灵活运用．