Question

小张同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好．某一天他利用30分钟时间进行自主学习．假设他用于解题的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图甲所示，用于回顾反思的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图乙所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．
问：小张如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？
（学习收益总量=解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量）

Answer 1

分析：此题首先可以判断出甲图是正比例函数解析式，由（3，6）可以求出，图乙是一个分段函数应分为两部分进行，列出函数解析式，特别应注意自变量的取值范围．

解答：解：甲图函数表达式：
把（3，6）点，代入y=kx，
解得：y=2x，自变量x的取值范围是0≤x≤30，
乙图函数表达式：因为过（0，0），（5，25），可得解析式

y=-x2+10x(0≤x≤5) y=25(5≤x≤15)

，
设用于回顾反思的时间为x（0≤x≤15）分钟，学习效益总量为Z，
则他用于解题的时间为（30-x）分钟，
当0≤x≤5时，Z=-x²+10x+2（30-x）=-x²+8x+60=-（x-4）²+76，
∴当x=4时，Z_最大=76，
当5≤x≤15时，Z=25+2（30-x）=-2x+85，
∵Z随x的增大而减小，
∴当x=5时，Z_最大=75，
综合所述，当x=4时，Z_最大=76，此时30-x=26．
即用于解题的时间为26分钟，用于回顾反思的时间为4分钟时，学习收益总量最大．

点评：此题主要考查了一次函数与二次函数的综合应用，特别是分段函数中自变量的取值范围问题，综合性较强．