Question

（2013•莘县二模）某经销商销售一种进价为每件20元的护眼台灯，销售过程中发现，如果按进价销售，每月销售量为300台，售价每增加1元，销量减少10台，若商场将这种台灯销售单价定为x（元），每月销量为y（件）．
（1）试判断商场每月销量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系；
（2）如果经销商想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）根据物价部门规定，这种台灯的销售单价不得高于32元，如果经销商想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月用于购进这种台灯的成本最少需要多少元？

Answer 1

分析：（1）每月销售量y=300-10×（销售价-进价）；
（2）设每月利润为W，根据每月利润=单件利润×销售量，从而列出W与x的关系式，令W=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价；
（3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本．

解答：解：（1）y=300-10（x-20）=-10x+500；

（2）设每月利润为W，
由题意得：W=（x-20）（-10x+500）=-10x²+700x-10000，
令W=2000，代入解析式得：-10x²+700x-10000=2000，
化简得 x²-70x+1200=0，
解得：x₁=30，x₂=40，
答：经销商想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元．
（3）W=10x²+700x-10000=-10（x-35）²+2250，
可知当销售单价为35元时可获得最大利润2250元，
由（2）知当销售单价为30元时可获得利润2000元，得出x的取值范围：30≤x≤32，
∵y=-10x+500，
∴y随x的增大而减少，
故当x取最大值32时销量最小，
则此时购进这种台灯的成本为20×（-10×32+500）=20×180=3600（元）．
答：每月用于购进这种台灯的成本最少需要3600元．

点评：此题考查了二次函数的应用以及抛物线的基本性质，难度较大，解答本题的关键是将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．