Question

在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（3，2），B（1，5）．
（1）若点P的坐标为（0，m），当m=    时，△PAB的周长最短；
（2）若点C、D的坐标分别为（0，a）、（0，a+4），则当a=    时，四边形ABDC的周长最短．

Answer 1

【答案】分析：（1）如图1，AB的长度一定，要使△PAB的周长取最小值，需要满足PA+PB取最小值，利用轴对称的性质确定点P的位置，求出A'B的函数解析式后即可得出点P的坐标；
（2）如图2，作点A关于x轴的对称点A′，则A′的坐标为（-3，2），把A′向上平移4个单位得到点B'（-3，6），连接BB′，与y轴交于点D，易得四边形A′B′DC为平行四边形，得到CA′=DB′=CA，则AC+BD=BB′，根据两点之间线段最短得到此时（AC+BD）最小，即四边形ABDC的周长最短．然后用待定系数法求出直线BB′的解析式y=4x-17，易得D点坐标为
（0，），则有a+4=，即可求出a的值．
解答：解：（1）如图，过点A作关于y轴的对称点A'，连接A'B，则A'B与y轴的交点即为点P的位置，
∵点A的坐标为（3，2），
∴点A'的坐标为（-3，2），
设直线A'B的解析式为y=kx+b，则
，
解得，
即直线A'B的解析式为y=x+，
∵点P的坐标为（0，m），且点P在直线A′B上，
∴m=．

（2）解：如图2，作点A关于x轴的对称点A′，则A′的坐标为（-3，2），把A′向上平移4个单位得到点B'（-3，6），连接BB′，与y轴交于点D，
∴CA′=CA，
又∵点C、D的坐标分别为（0，a）、（0，a+4），
∴CD=4，
∴A′B′∥CD，
∴四边形A′B′DC为平行四边形，
∴CA′=DB′，
∴CA=DB′，
∴AC+BD=BB′，此时AC+BD最小，
而CD与AB的长一定，
∴此时四边形ABDC的周长最短．
易得直线BB′的解析式为y=-x+，
∵点D在直线BB′上，且D（0，a+4），
∴a+4=．
解得a=．
故答案是：；．
点评：本题考查了轴对称-最短路线问题：通过对称，把两条线段的和转化为一条线段，利用两点之间线段最短解决问题．也考查了坐标变换以及待定系数法求一次函数的解析式．