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如图,AB是⊙O的直径,过圆上一点D作⊙O的切线DE,与过点A的直线垂直于E,弦BD的精英家教网延长线与直线AE交于C点.
(1)求证:点D为BC的中点;
(2)设直线EA与⊙O的另一交点为F,求证:CA2-AF2=4CE•EA;
(3)若弧AD=
12
弧DB,⊙O的半径为r.求由线段DE,AE和弧AD所围成的阴影部分的面积.
分析:(1)连接OD、ED为⊙O切线,由切线的性质知:OD⊥DE;根据垂直于同一直线的两条直线平行知:OD∥AC;由于O为AB中点,则点D为BC中点.
(2)连接BF,AB为⊙O直径,根据直径对的圆周角是直角知,∠CFB=∠CED=90°,根据垂直于同一直线的两条直线平行知
ED∥BF由平行线的性质知,由于点D为BC中点,则点E为CF中点,所以CA2-AF2=(CA-AF)(CA+AF)=(CE+AE-EF+AE)•CF=2AE•CF,将CF=2CE代入即可得出所求的结论.
(3)由于
AD
=
1
2
DB
则弧AD是半圆ADB的三分之一,有∠AOD=180°÷3=60°;连接DA,可知等腰三角形△OAD为等边三角形,则有OD=AD=r;在Rt△DEA中,由弦切角定理知:∠EDA=∠B=30°,可求得EA=
1
2
r,ED=
3
2
r,则有S阴影=S梯形AODE-S扇形AOD,从而可求得阴影部分的面积.
解答:精英家教网(1)证明:连接OD,
∵ED为⊙O切线,∴OD⊥DE;
∵DE⊥AC,∴OD∥AC;
∵O为AB中点,
∴D为BC中点;

(2)证明:连接BF,
∵AB为⊙O直径,
∴∠CFB=∠CED=90°;精英家教网
∴ED∥BF;
∵D为BC中点,
∴E为CF中点;
∴CA2-AF2=(CA-AF)(CA+AF)
=(CE+AE-EF+AE)•CF=2AE•CF;
∴CA2-AF2=4CE•AE;

(3)解:∵
AD
=
1
2
DB
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∴∠AOD=60°;
连接DA,可知△OAD为等边三角形,
∴OD=AD=r,
在Rt△DEA中,∠EDA=30°,
∴EA=
1
2
r,ED=
3
2
r;
∴S阴影=S梯形AODE-S扇形AOD=
(
1
2
r+r)•
3
r
2
2
-
1
6
πr2

=
3
3
8
r2-
1
6
πr2
点评:本题考查了切线的性质、平行线的判定和性质、直角三角形的性质、平方差公式、圆周角定理、等边三角形的判定和性质以及梯形和扇形的面积计算方法等知识.
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如图,AB是铅直地竖立在坡角为30°的山坡上的电线杆,当阳光与水平线成60°角时,电线杆的影子BC的长度为4米,则电线杆AB的高度为


  1. A.
    4米
  2. B.
    6米
  3. C.
    8米
  4. D.
    10米

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