Question

如图，已知梯形OABC，AB∥OC，A（2，4），B（3，4），C（7，0）、点D在线段OC上运动（点D不与点O、C重合），过点D作x轴的垂线交梯形的一边于点E，以DE为一边向左侧作正方形DEFG，设点D的横坐标为t，正方形DEFG与梯形OABC重合部分的面积为s，
（1）直接写出线段AO与线段BC所在直线的解析式；
（2）求s关于t的函数关系式，并求s的最大值．

Answer 1

分析：（1）已知了A、B、C三点坐标，即可利用待定系数求得直线AO和直线BC的解析式．
（2）此题应分五种情况讨论：
①点E在线段OA上时（包括和A点重合），即0＜t≤2时，此时OD=t，DE=2t，重合部分是直角三角形，利用三角形的面积公式即可得到S、t的函数关系式；
②点E在线段AB上时（包括和B点重合），即2＜t≤3时，此时OD=t，DE=4，重合部分是个直角梯形，根据梯形的面积公式可求得S、t的函数关系式；
③点E在线段BC上，点G在O点左侧（或与点O重合），即3＜t≤3.5时，此时OD=t，DE=7-t，重合部分是个直角梯形，首先将DE的长代入直线AO的解析式中，即可得到EF与AO的交点横坐标，从而求得梯形的上底长，而梯形的下底为t，高为7-t，根据梯形的面积公式即可得到S、t的函数关系式；
④点E在线段BC上，点G在O点右侧，点F在直线OA左侧（包括点F在OA上），即3.5＜t≤

21

5

时，此时OD=t，DE=7-t，重合部分的面积可由正方形的面积减去未重合的直角三角形的面积，由此求得S、t的函数关系式；
⑤点E在线段BC上，其余三点均在梯形OABC内部时，即

21

5

＜t＜7时，此时重合部分的面积就是正方形EFGD的面积，从而求得S、t的函数关系式；
根据上述五种不同的函数的性质和对应的自变量取值范围即可得到S的最大值及对应的t的值．

解答：解：（1）设直线AO的解析式为：y=kx，由于A（2，4），则：
2k=4，k=2，
∴y=2x；
设直线BC的解析式为：y=ax+b，则有：

3a+b=4 7a+b=0

，
解得

a=-1 b=7

；
∴y=-x+7；
故直线AO的解析式为：y=2x；（1分）
直线BC的解析式为：y=-x+7．（2分）

第（2）小题分以下五段：
①当0＜t≤2时，有：s=t²；
当t=2时，s有最大值为：4 （4分）
②当2＜t≤3时，有：s=4t-4；
当t=3时，s有最大值为：8（6分）
③当3＜t≤3.5时，有：s=

1

2

(

5

2

t-

7

2

)(-t+7)=-

5

4

t2+

21

2

t-

49

4

=-

5

4

(t-

21

5

)2+9.8；
当t=3.5时，s有最大值为：

147

16

（7分）
④当3.5＜t≤

21

5

时，有：s=(-t+7)2-

1

4

(-5t+21)2=-

21

4

t2+

77

2

t-

245

4

=-

21

4

(t-

11

3

)2+

28

3

；
当t满足3.5＜t≤

21

5

时，s的值小于

147

16

．（8分）
⑤当

21

5

＜t＜7时，有：s=（t-7）²；
此时s的值小于

147

16

，（9分）
综上所述，当t=3.5时，s有最大值为：

147

16

．（10分）

点评：此题主要考查了一次函数解析式的确定以及图形面积的求法，需要特别注意的是：在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．