Question

（2010•博野县二模）图①是一张长与宽不相等的矩形纸片，同学们都知道按图②所示的折叠方法可以裁剪出一个正方形纸片和一个矩形纸片（如图③），

（1）实验：
将这两张纸片分别按图④、⑤所示的折叠方法进行：

请你分别在图④、⑤的最右边的图形中用虚线画出折痕，并顺次连接每条折痕的端点，所围成的四边形分别是什么四边形？
（2）当原矩形纸片的AB=4，BC=6时，分别求出（1）中连接折痕各端点所得四边形的面积，并求出它们的面积比；
（3）当纸片ABCD的长和宽满足怎样的数量关系时先后得到的两个四边形的面积比等于（2）所得到的两个四边形的面积比？
（4）用（2）中所得到的两张纸片，分别裁剪出那两个四边形，用剩下的8张纸片拼出两个周长不相等的等腰梯形，用图表示并标明主要数据，分别求出两梯形的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意知：图④正方形和图⑤矩形的折痕分别是对边中点所在的直线，顺次连接图④正方形的四边中点，所得四边形的对角线相等且互相垂直平分，因此其形状是正方形；顺次连接图⑤矩形的四边中点，所得四边形的对角线互相垂直平分，因此其形状是菱形；
（2）已知了原矩形的长和宽，即可求得图④正方形的边长和图⑤矩形的长和宽，进而可求出（1）中连接折痕各端点所得四边形的对角线的长，它们的面积都是对角线乘积的一半，由此可求得两个四边形的面积，进而得到它们的比例关系；
（3）可设出原矩形的长和宽，按照（2）的方法分别表示出（1）中连接折痕各端点所得四边形的面积，然后根据它们的比例关系即可求出a、b需要满足的条件；
（4）裁剪掉那两个四边形后剩下八个直角三角形，可分成两类：
①两条直角边为2的等腰直角三角形，②直角边为1和2的直角三角形；
然后动手操作即可拼成两个周长不等的等腰梯形，进而可求出其周长．
解答：解：（1）图④所示的是正方形，图⑤所示的菱形．（2分）

（2）S_菱形=S_正方形=，S_菱形MNPQ=S_矩形=
S_正方形：S_菱形=2；（4分）

（3）设AB=a，BC=b，
则S_正方形=，S_菱形=a（b-a）=ab-a²，
要使S_正方形=2S_菱形，
需
∴3a²=2ab；
由∵a不等于0，
∴3a=2b；（7分）

（4）如图所示，两等腰梯形面积分别为6或6．
（10分）
点评：本题考查图形的折叠与拼接，同时考查了直角三角形、特殊四边形等几何基本知识，解题时应分别对每一个图形进行仔细分析，难度适中．