已知:如图,直径为10的⊙M交x轴于A、B两点,圆心M的坐标为(3,0),⊙M与y轴的负半轴交于点C,抛物线y=x2+bx+c经过点C,且与x轴交于D、E两点,A点在此抛物线的对称轴上.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)在x轴的正半轴上是否存在点P,使以点P、O、C为顶点的三角形与△AOC相似?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,说明理由;
(3)判断过D、G两点的直线与⊙M的位置关系,并说明理由.
解:(1)(4分)如图,连结MC, ∵⊙M的直径为10 ∴MC=5, 在Rt△MOC中,MC=5,OM=3 OC==4 ∴C(0,-4) 而抛物线y=x2+bx+c经过点C ∴c=-4 又∵抛物线的对称轴经过点A(-2,0)
∴抛物线的解析式为
(2) (3分)答:存在. 设点P的坐标为(xP,0) ∵点A的坐标为A(-2,0) 由△COP∽△AOC
即:xP=8 ∴点P1的坐标为(8,0) 由△POC∽△AOC 有 OP=AO=2 ∴点P2的坐标为(2,0) ∴点P的坐标为(8,0)或(2,0). (3)(5分) 解法一:答:过C、D两点的直线与⊙M相切. 过C、D两点作直线CD,连接CM ∵抛物线y=x2+x-4与x轴交于D、E两点, ∴令x2+x-4=0 解得:x1=,x2=. ∴点D的坐标为(,0)
∴CD2+CM2=DM2 即:△CMD是直角三角形 ∴∠DCM=90°,由MC是⊙M的半径知: 过C、D两点的直线与⊙M相切. 解法二:答:过C、D两点的直线与⊙M相切. 过C、D两点作直线CD,连接CM ∵抛物线y=x2+x-4与x轴交于D、E两点, 令x2+x-4=0 解得:x1=,x2= ∴点D的坐标为(,0),点E的坐标为(,0) 在△DOC和△COM中 ∠DOC=∠COM=90°
∴△DOC∽△COM(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似) ∴∠MCO=∠ODC 而∠ODC+∠OCD=90° ∴∠MCO+∠OCD=90° ∴∠DCM=90°,由MC是⊙M的半径知:过C、D两点的直线与⊙M相切. |
科目:初中数学 来源: 题型:
OA |
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科目:初中数学 来源:广东省中考真题 题型:解答题
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科目:初中数学 来源:2013-2014学年浙江省余姚市六校九年级第一学期联考数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知:如图,直径为OA的⊙M与x轴交于点O、A,点B、C把弧 CA分为三等份,连接MC并延长交y轴于点D(0,3)
(1)求证:△OMD≌△BAO;
(2)若直线把⊙M的周长和△OMD面积均分为相等的两部份,求该直线的解析式.
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科目:初中数学 来源:2011-2012学年浙江省杭州市富阳市九年级(上)期中数学试卷(解析版) 题型:解答题
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