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    （2013•奉贤区二模）如图，已知二次函数y=-x2+2mx的图象经过点B（1，2），与x轴的另一个交点为A，点B关于抛物线对称轴的对称点为C，过点B作直线BM⊥x轴垂足为点M．
    （1）求二次函数的解析式；
    （2）在直线BM上有点P（1，
    32
    ），联结CP和CA，判断直线CP与直线CA的位置关系，并说明理由；
    （3）在（2）的条件下，在坐标轴上是否存在点E，使得以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）将点B（1，2），代入二次函数y=-x2+2mx，得到关于m的方程，求得m的值，从而得到二次函数的解析式；
    （2）根据题意可知点A（3，0），C（2，2），P（1，
    3
    2
    ），根据两点间的距离公式可得PA，PC，AC的长，再根据勾股定理的逆定理即可判断直线CP与直线CA的位置关系；
    （3）分①当点E在x轴上，PE∥CA，②当点E在y轴上，PC∥AE，两种情况讨论即可得到使得以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形的点E的坐标．
    解答：解：（1）∵点B（1，2）在二次函数y=-x2+2mx的图象上，
    ∴-12+2m=2
    解得m=
    3
    2
    ．
    故二次函数的解析式为y=-x2+3x；

    （2）直线CP与直线CA的位置关系是垂直．
    ∵二次函数的解析式为y=-x2+3x，
    ∴点A（3，0），C（2，2），
    ∵P（1，
    3
    2
    ），
    ∴PA2=
    25
    4
    ，PC2=
    5
    4
    ，AC2=5，
    ∴PA2=PC2+AC2，
    ∴∠PCA=90°，即CP⊥CA；

    （3）假设在坐标轴上存在点E，使得以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形，
    ∵∠PCA=90°，
    则①当点E在x轴上，PE∥CA，
    ∴△CBP∽△PME，
    ∴
    CB
    PM
    =
    BP
    ME
    ，
    ∴ME=
    3
    4
    ，
    ∴E1（
    7
    4
    ，0）；
    ②当点E在y轴上，PC∥AE，
    ∴△CBP∽△AOE，
    ∴
    CB
    AO
    =
    BP
    OE
    ，
    ∴OE=
    3
    2
    ，
    ∴E2（0，-
    3
    2
    ）．
    即点Q的坐标E1（
    7
    4
    ，0）、E2（0，-
    3
    2
    ）时，以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形．
    点评：考查了二次函数综合题，涉及到：直角梯形的性质、二次函数解析式的确定、两点间的距离公式、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定和性质等重要知识点．（3）题中，注意要分类讨论，以免漏解．
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    2
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    a
    2
    3
    a
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