Question

1．在平面直角坐标系中，我们定义点P（a，b）的“变换点”为Q．且规定：当a≥b时，Q为（b，-a）；当a＜b时，Q为（a，-b）．
（1）点（2，1）的变换点坐标为（1，-2）；
（2）若点A（a，-2）的变换点在函数y=$\frac{1}{x}$的图象上，求a的值；
（3）已知直线l与坐标轴交于（6，0），（0，3）两点．将直线l上所有点的变换点组成一个新的图形记作M． 判断抛物线y=x²+c与图形M的交点个数，以及相应的c的取值范围，请直接写出结论．

Answer 1

分析 （1）由变换点的定义可求得答案；
（2）由变换点的定义可求得A的变换点，代入函数解析式可求得a的值；
（3）先求得直线y=x与直线l的交点坐标，然后分为当x≥2和x＜2两种情况，求得M的关系式，然后在画出M的大致图象，然后将抛物线y=x²+c与M的函数关系式组成方程组，然后依据一元二次方程根的判别式进行判断即可．

解答 解：（1）∵2≥-1，
∴点（2，1）的变换点坐标为（1，-2），
故答案为：（1，-2）；

（2）当a≥-2时，则A（a，-2）的变换点坐标为（-2，-a），
代入y=$\frac{1}{x}$可得-a=$\frac{1}{-2}$，解得a=$\frac{1}{2}$；
当a＜-2时，则A（a，-2）的变换点坐标为（a，2），
代入y=$\frac{1}{x}$可得2=$\frac{1}{a}$，解得a=$\frac{1}{2}$，不符合题意；
综上可知a的值为$\frac{1}{2}$；

（3）设直线l的解析式为y=kx+b （k≠0 ），将点（6，0）、（0，3）代入y=kx+b得：$\left\{\begin{array}{l}{6a+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线l的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3．
当x=y时，x=-$\frac{1}{2}$x+3，解得x=2．
点C的坐标为（2，-2），点C的变换点的坐标为C′（ 2，-2 ），
点（6，0）的变换点的坐标为（0，-6），点（0，3）的变换点的坐标为（0，-3），
当x≥2时，所有变换点组成的图形是以C′（ 2，-2）为端点，过（0，-6 ）的一条射线；即：y=2x-6，其中x≥2，
当x＜2时，所有变换点组成的图形是以C′（2，-2）为端点，过（0，-3）的一条射线，即y=$\frac{1}{2}$x-3，其中，x＜2．
所以新的图形M是以C′（2，-2）为端点的两条射线组成的图形．
如图所示：

由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-3}\\{y={x}^{2}+c}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{y=2c-6}\\{y={x}^{2}+c}\end{array}\right.$得：x²-$\frac{1}{2}$x+c+3=0①和x²-2x+c+6=0②
讨论一元二次方程根的判别式及抛物线与点C′的位置关系可得：
①当方程①无实数根时，即：当c＞-$\frac{47}{16}$时，抛物线y=x²+c与图形M没有交点；
②当方程①有两个相等实数根时，即：当c=-$\frac{47}{16}$时，抛物线y=x²+c与图形M有一个交点；
③当方程②无实数根，且方程①有两个不相等的实数根时，即：当-5＜c＜-$\frac{47}{16}$时，抛物线y=x²+c与图形M有两个交点；
④当方程②有两个相等实数根或y=x²+c恰好经过经过点C′时，即：当c=-5或c=-6时，抛物线y=x²+c与图形M有三个交点；
⑤当方程②方程①均有两个不相等的实数根时，且两根均小于2，即：当-6＜c＜-5时，抛物线y=x²+c与图形M有四个交点；
⑥当c＜-6时，抛物线y=x²+c与图形M有两个交点．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了变换点的定义，一元二次方程根的判别式，求得M的函数关系式是解题的关键．