Question

如图，已知菱形ABCD，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．
（1）求证：CE=CF；
（2）若菱形边长为8，E是BC的中点，求菱形的面积．

Answer 1

分析：（1）由于四边形ABCD是菱形，那么可知AC是∠BCD的角平分线，结合AE⊥BC，AF⊥CD，易得AE=AF，而AC是公共边，易证Rt△AEC≌Rt△AFC，从而有CE=CF；
（2）由于AE⊥BC，E是BC中点，可求BE=4，利用勾股定理易求AE，进而可求△ABC的面积，从而可求菱形ABCD的面积．

解答：解：如右图所示，连接AC，
（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC是∠BCD的角平分线，
又∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴AE=AF，
又∵AC=AC，
∴Rt△AEC≌Rt△AFC，
∴CE=CF；

（2）∵E是BC中点，AB=BC=8，
∴BE=CE=4，
∴AE=

AB2-BE2

=4

3

，
∴S_△ABC=

1

2

BC×AE=16

3

，
∴S_菱形ABCD=2S_△ABC=32

3

．

点评：本题考查了菱形的性质、角平分线性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是连接AC，并求出AE．