Question

你会求（a-1）（a²⁰¹²+a²⁰¹¹+a²⁰¹⁰+‥‥a²+a+1）的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律：
（a-1）（a+1）=a²-1
（a-1）（a²+a+1）=a³-1；
（a-1）（a³+a²+a+1）=a⁴-1；
（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a-1）（a²⁰¹²+a²⁰¹¹+a²⁰¹⁰+‥‥a²+a+1）=______．
利用上面的结论，求
（2）2²⁰¹³+2²⁰¹²+2²⁰¹¹+‥‥2²+2+1的值是______．　　　　
（3）求5²⁰¹³+5²⁰¹²+5²⁰¹¹+‥‥5²+5+1的值．

Answer 1

解：（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a-1）（a²⁰¹²+a²⁰¹¹+a²⁰¹⁰+‥‥a²+a+1）=a²⁰¹³-1；
（2）∵（2-1）（2²⁰¹³+2²⁰¹²+2²⁰¹¹+‥‥2²+2+1）=2²⁰¹⁴-1，
∴2²⁰¹³+2²⁰¹²+2²⁰¹¹+‥‥2²+2+1的值是2²⁰¹⁴-1；
（3）∵（5-1）（5²⁰¹³+5²⁰¹²+5²⁰¹¹+‥‥5²+5+1）=5²⁰¹⁴-1，
∴5²⁰¹³+5²⁰¹²+5²⁰¹¹+‥‥5²+5+1=（5²⁰¹⁴-1）．
故答案为：（1）a²⁰¹³-1；（2）2²⁰¹⁴-1
分析：（1）根据题意得到（a-1）（a²⁰¹²+a²⁰¹¹+a²⁰¹⁰+‥‥a²+a+1）=a²⁰¹³-1；
（2）将得出的规律中的a换为2，计算即可得到结果；
（3）将a换为5，计算即可得到结果．
点评：此题考查了整式的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键．