Question

如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=

29

，AC=4，BD=10．
问：（1）AC与BD有什么位置关系？说明理由．
（2）四边形ABCD是菱形吗？为什么？

Answer 1

分析：（1）根据平行四边形对角线互相平分，可以得到OD、OA的长，利用勾股定理逆定理可知△AOD为直角三角形，所以垂直；
（2）由?ABCD，得AO=OC，BO=OD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定．

解答：解：（1）AC⊥BD；
∵?ABCD中，OD=

1

2

BD=5，OA=

1

2

AC=2
又∵△AOD中，OA²+OD²=5²+2²=29
∴BC²=（

29

）²=29
∴△AOD是直角三角形
∴AC⊥BD；
（2）四边形ABCD是菱形；
由?ABCD，得AO=OC，BO=OD
又∵AC⊥BD
∴?ABCD是菱形．
故答案为AC⊥BD、四边形ABCD是菱形．

点评：本题主要考查菱形的判定、平行四边形的性质和勾股定理逆定理．有利于训练学生思维能力．