Question

如图，E点为x轴正半轴上一点，⊙E交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧上一个动点，且A（-1，0），E（1，0）．
（1）如图1，求点C的坐标；

（2）如图2，连接PA，PC．若CQ平分∠PCD交PA于Q点，当P点在运动时，线段AQ的长度是否发生变化；若不变求出其值，若发生变化，求出变化的范围；

（3）如图3，连接PD，当P点在运动时（不与B、C两点重合），给出下列两个结论：①的值不变，②的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你判断哪一个是正确的，并求其值．

Answer 1

解：（1）连接EC，则EC=EA=2，
∵OE=1，
∴OC=，

故点C的坐标为（0，）；

（2）不发生变化．
连接CB，则∠CPA=∠CBA=∠ACO，

∵∠ACQ=∠ACO+∠OCQ，∠AQC=∠CPA+∠PCQ，
∵CQ平分∠PCD，则∠PCQ=∠OCQ，
则∠ACQ=∠AQC，得AQ=AC=2；

（3）结论①不变，在PD的延长线上截取DM=PC，则PC+PD=PM，
连接AM，可证△PAC≌△MAD，得MA=PA，∠MAP=∠DAC=120°，
则△PAM是以30°为底角的等腰三角形，
∴==．

分析：（1）连接EC，则EC=EA=2，然后利用勾股定理就可求出OC的长，从而求出点C的坐标；
（2）不发生变化，连接CB，利用等弧所对的圆周角相等可证明AQ=AC，AC是一个固定值，所以不发生变化．再利用勾股定理就可求出AC的长即是AQ的长；
（3）要想知道哪个结论正确就要都证明一下，通过证明可知1正确．证明的时候利用三角形的全等来证明．
点评：本题综合考查了圆的有知识，以及全等三角形的判定．所以学生学习时一定要会把所学的知识灵活的运用起来．