Question

【题目】如图，梯形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）．点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位；点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．设P从出发起运动了t秒．

（1）如果点Q的速度为每秒2个单位，①试分别写出这时点Q在OC上或在CB上时的坐标（用含t的代数式表示，不要求写出t的取值范围）；

②求t为何值时，PQ∥OC？

（2）如果点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半，①试用含t的代数式表示这时点Q所经过的路程和它的速度；

②试问：这时直线PQ是否可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分？如有可能，求出相应的t的值和P、Q的坐标；如不可能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①点Q在OC上时Q（t，t），点Q在CB上时Q（2t﹣1，3）；②t=5；（2）①v=，点Q所经过的路程为（16﹣t）；②直线PQ不可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分．

【解析】

试题分析：（1）①根据相似三角形的性质即可求得点Q在OC上时的坐标；根据路程即可求得点Q在CB上时的横坐标是（2t﹣5），纵坐标和点C的纵坐标一致，是3；

②显然此时Q在CB上，由平行四边形的知识可得，只需根据OP=CQ列方程求解；

（2）①设Q的速度为v，根据P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半，即可建立函数关系式；

②显然Q应在CB上，根据面积和①中的结论得到关于t的方程，进行求解．

试题解析：（1）①点Q在OC上时Q（t，t），点Q在CB上时Q（2t﹣1，3）．

②显然Q在CB上，由平行四边形的知识可得，只须OP=CQ．所以2t﹣5=t得t=5．

（2）①设Q的速度为v，先求梯形的周长为32，可得t+vt=16，所以v=，点Q所经过的路程为（16﹣t）；

②当Q在OC上时，做QM⊥OA，垂足为M，则QM=（16﹣t）×，∴S△OPQ=×（16﹣t）t=t（16﹣t）=S梯形OABC，则令t（16﹣t）=18，解得t1=10，t2=6，当t1=10时，16﹣x=6，此时点Q不在OC上，舍去；当t2=6时，16﹣x=10，此时点Q也不在OC上，舍去；∴当Q点在OC上时，PQ不可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分．

当Q点在CB上时，CQ=16﹣t﹣5=11﹣x，∴S梯形OPQC=×（11﹣x+x）×3=≠18，∴当Q点在CB上时，PQ不可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分．

综上所述，直线PQ不可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分．